Scopi

Fornire le nozioni di base del calcolo differenziale e integrale delle funzioni di più variabili reali, con particolare riguardo al caso di due e tre variabili reali.
Fornire i primi elementi della teoria delle equazioni differenziali ordinarie. Accennare a curve e superficie parametriche e al calcolo differenziale vettoriale.
Fornire alcuni concetti fondamentali di probabilità e statistica; in particolare: spazi di probabilità, variabili aleatorie discrete e continue.

Sono previste le seguenti precedenze di acquisto:

• Matematica II

Programma del corso

• Lo spazio Rⁿ; prodotto scalare, norma, distanza.
• Nozioni topologiche. Continuità e limiti per funzioni di più variabili.
• Derivate parziali e direzionali, differenziale, gradiente, regole di differenziazione. Formula di Taylor.
• Differenziale secondo e successivi. Estremi relativi liberi. Funzioni implicite. Invertibilità locale e globale. Estremi vincolati.
• Equazioni e sistemi differenziali. Problema di Cauchy. Risoluzione per quadrature di alcuni tipi d'equazioni differenziali. Equazioni e sistemi lineari. Caso delle equazioni lineari a coefficienti costanti.
• Integrale di Riemann per funzioni di più variabili su rettangoli. Proprietà dell'integrale. Formule di riduzione in R2 e in R3.
• Integrabilit¿ su insiemi limitati. Misura di Peano - Jordan. Funzioni definite da integrali e loro propriet¿. Integrali generalizzati.
• Integrali di linea e superficie. Area di una superficie. Teoremi di Gauss e di Stokes, teoremi della divergenza e del rotore.
• Spazi di probabilità: proprietà, probabilità condizionale, indipendenza.
• Variabili aleatorie discrete.
• La varianza.
• Covarianza e coefficiente di correlazione.
• Eventi condizionati e probabilità condizionata.
• Variabili aleatorie continue.
• Leggi normali, leggi gamma.

Testi consigliati dal docente responsabile del corso:

• C. Canuto, A. Tabacco, Analisi Matematica II - Teoria ed esercizi , Springer-Verlag Italia, gennaio 2008.
• M.Bramanti, Calcolo delle probabilità e statistica, Progetto Leonardo, Bologna 2000.
• Sandra Pieraccini, Anita Tabacco, Matematica III, Raccolta di temi svolti, Clut, Torino 2006.

Presso l'indirizzo http://calvino.polito.it/~pieraccini/Didattica/Nettuno/MatematicaIII/index.html si trova materiale di supporto sia teorico (dispense) sia pratico (esercizi svolti e proposti).

Per preparare l'esame vengono utilizzati i videocorsi di Matematica III e di Probabilità e Statistica, di cui di seguito il dettaglio:

Matematica III

• Prof. Tironi Gino

• [1.] Struttura di R^N
• [2.] Continuità limiti e differenziabilità di funzioni di più variabili
• [3.] Conseguenze fondamentali della continuità e della differenziabilità delle funzioni di più variabili
• [4.] Calcolo differenziale per funzioni di più variabili
• [5.] Calcolo differenziale per funzioni di più variabili (seconda parte)
• [6.] Calcolo differenziale per funzioni di più variabili (terza parte)
• [7.] Calcolo differenziale per funzioni di più variabili (quarta parte)
• [8.] Calcolo differenziale per funzioni di più variabili. Estremi vincolati, esempi
• [9.] Equazioni differenziali ordinarie (prime considerazioni)
• [10.] Equazioni differenziali ordinarie. Altri tipi integrabili "per quadratura"
• [11.] Sistemi d'equazioni ed equazioni differenziali lineari
• [12.] Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti
• [13.] Equazioni e sistemi d'equazione differenziali lineari a coefficienti costanti
• [14.] Integrale (di Riemann) per funzioni di due e tre variabili su rettangoli
• [15.] Formule di riduzione per integrali doppi e tripli su rettangoli. Integrazione su sottoinsiemi limitati
• [16.] Cambiamento di variabili in integrali doppi e tripli
• [17.] Integrali generalizzati doppi e tripli. Funzioni definite da integrali
• [18.] Curve e integrali curvilinei in R² e R³
• [19.] Formule di Gauss-Green nel piano. Campi vettoriali
• [20.] Superficie nello spazio, loro area. Formula delle divergenze e di Stokes

La videolezione 17 è opzionale.

Probabilità e Statistica

• Prof. Scozzafava Romano

• [1.] Primi passi
• [2.] Le diverse concezioni della probabilità
• [3.] Gli eventi come proposizioni
• [4.] Assegnazioni coerenti di probabilità
• [5.] Numeri aleatori e previsione
• [6.] Varianza e covarianza
• [7.] Probabilità condizionata
• [8.] Aggiornamento delle probabilità - Teorema di Bayes
• [9.] Indipendenza stocastica di eventi
• [10.] Estrazioni da urne
• [11.] Distribuzioni binomiale e ipergeometrica
• [12.] Distribuzioni discrete
• [13.] Probabilità nulle
• [14.] Numeri aleatori continui
• [15.] Distribuzioni continue
• [16.] La distribuzione normale
• [17.] Teoria dell'affidabilità
• [18.] Vettori aleatori
• [19.] Regressione
• [20.] Il campionamento statistico

Le videolezioni 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 20 sono opzionali.

Si faccia riferimento al testo:

• Sandra Pieraccini, Anita Tabacco, Matematica III, Raccolta di temi svolti, Clut, Torino 2006.

L'esame consiste di una prova scritta di due ore. Per il superamento dello stesso è OBBLIGATORIO risolvere almeno un esercizio riguardante la probabilità. Non è consentito rifiutare il voto proposto più di una volta e, in ogni caso, ogni votazione positiva conseguita della sessione di settembre verrà automaticamente registrata.
Durante la prova scritta non è consentito l'uso di nessun testo o appunti ma è possibile utilizzare la calcolatrice.
È possibile consultare le tavole relative alla funzione di ripartizione della legge normale standard e le tabelle seguenti:

• DERIVATE ( 52 KB)
• SVILUPPI IN SERIE ( 38 KB)