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Geometria differenziale proiettiva delle geodetiche e sistemi integrabili

01DNWRT

A.A. 2021/22

Lingua dell'insegnamento

Italiano

Corsi di studio

Dottorato di ricerca in Matematica Pura E Applicata - Torino

Organizzazione dell'insegnamento
Didattica Ore
Lezioni 20
Docenti
Docente Qualifica Settore h.Lez h.Es h.Lab h.Tut Anni incarico
Manno Giovanni   Professore Ordinario MAT/03 14 0 0 0 1
Collaboratori
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Didattica
SSD CFU Attivita' formative Ambiti disciplinari
*** N/A ***    
Si introdurranno le basi della Geometria Differenziale Proiettiva delle geodetiche, con particolare attenzione alle simmetrie proiettive infinitesimali (cioè campi vettoriali il cui flusso locale manda geodetiche non-parametrizzate in geodetiche non-parametrizzate), all’equivalenza proiettiva (metriche che ammettono le stesse geodetiche non-parametrizzate) e alla metrizzabilità di strutture proiettive inclusa la loro relazione con i sistemi integrabili (nel senso di Liouville). Il corso tratterà sia la teoria classica che argomenti di ricerca più recente.
We will introduce the basics of the Projective Differential Geometry of geodesics, with particular attention to infinitesimal projective symmetries (i.e. vector fields whose local flow sends non-parametrized geodesics into non-parametrized geodesics), to projective equivalence (metrics admitting the same non-parametrized geodesics) and to the metrizability of projective structures including their relationship with integrable systems (in the sense of Liouville). The course will cover both classical theory and more recent research topics.
Nozioni base riguardanti: varietà differenziali, spazio tangente, campi vettoriali, connessione di Levi-Civita, curve geodetiche.
Basic notions on differential manifolds, tangent space, vector fields, Levi-Civita connection and geodesic curves.
Dopo un breve richiamo dei prerequisiti sulle varietà differenziali, si introdurrà il concetto di connessione proiettiva (o struttura proiettiva) associata ad una connessione affine come classe di equivalenza di connessioni aventi le stesse curve geodetiche. Si introduranno quindi le simmetrie proiettive infinitesimali (cioè campi vettoriali il cui flusso locale manda curve geodetiche in curve geodetiche) che saranno viste come particolari simmetrie di Lie di un certo sistema di ODEs. Si procederà quindi al problema della metrizzabilità di strutture proiettive, che toccherà le geometrie (cioè le metriche) aventi simmetrie proiettive (Problema di Lie). Il corso si concluderà con la spiegazione dell'interconnessione tra metrizzabilità e (super-) integrabilità (nel senso di Liouville) del flusso geodetico.
After a brief recall of the prerequisites on differential manifolds, we will introduce the concept of projective connection (or projective structure) associated with an affine connection as an equivalence class of connections sharing the same geodesic curves. We will then introduce infinitesimal projective symmetries (i.e. vector fields whose local flow sends geodesic curves into geodesic curves) which will be understood as particular Lie symmetries of a certain system of ODEs. We will then focus on the problem of the metrizability of projective structures, which will be mainly treated in the case of geometries (i.e. metrics) having projective symmetries (Lie problem). The final part of the course will explain the relation between metrizability and (super-) integrability (in the sense of Liouville) of the geodesic flow.
In presenza
On site
Presentazione orale
Oral presentation
P.D.1-1 - Febbraio
P.D.1-1 - February
La modalità di erogazione dell'insegnamento dipenderà dall'evoluzione del quadro pandemico.


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