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Strain-gradient theories for biomechanical problems: Models, methods and implementation

01DXZRT

A.A. 2021/22

Course Language

Italian

Course degree

Doctorate Research in Matematica Pura E Applicata - Torino

Course structure
Teaching Hours
Lezioni 20
Teachers
Teacher Status SSD h.Les h.Ex h.Lab h.Tut Years teaching
Grillo Alfio   Professore Associato MAT/07 10 0 0 0 1
Teaching assistant
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Context
SSD CFU Activities Area context
*** N/A ***    
Valutazione CPD /
Il corso ha l’obiettivo di presentare alcuni modelli matematici sviluppati per lo studio dei tessuti biologici, e ottenuti impiegando e adattando all’ambito biomeccanico alcuni aspetti della teoria “strain-gradient” dei processi anelastici. Tale teoria, nella sua versione originale, è stata formulata da Gurtin e Anand in una serie di articoli pubblicati nel primo quinquennio degli anni 2000. L’esigenza di offrire tale insegnamento deriva dal crescente interesse della comunità scientifica verso tali teorie nell’ambito della ricerca in Fisica Matematica e, più specificatamente, nel ramo della Meccanica dei Continui. Il contesto entro cui si sviluppano gli argomenti in programma è quello della Meccanica dei Mezzi Porosi, presentata alla luce della Meccanica dei Continui moderna, e opportunamente generalizzata per inquadrare alcuni fenomeni biologici, quali il rimodellamento e la crescita dei tessuti. Rimodellamento e crescita sono il risultato di eventi biologici di diversa natura, il cui studio necessita di approcci modellistici specifici. In questo senso, le teorie “strain-gradient” offrono strumenti di indagine utili per identificare fenomenologie di interesse biologico che coinvolgono diverse scale di lunghezza e di tempo e che, con i modelli continui più “classici”, non è possibile descrivere. Inoltre, l’approccio basato sulle teorie “strain-gradient” permette di raggiungere una maggiore accuratezza nella investigazione di come i vari processi concorrenti al rimodellamento o alla crescita di un dato tessuto si influenzano reciprocamente, fornendo quindi la possibilità di osservare nuove interazioni e di proporre una migliore risoluzione dei fenomeni nella loro totalità. Sulla base di quanto esposto, si intende fornire agli Studenti e alle Studentesse che prendono parte al corso gli strumenti di indagine necessari per affrontare lo studio di alcuni modelli di crescita e rimodellamento basati su teorie “strain-gradient”, per mostrare come tale approccio permetta di ottenere risultati coerenti con i modelli classici, ma più esaustivi. Partendo da una teoria dei tessuti biologici basata sulla meccanica dei mezzi porosi, si studieranno alcuni modelli di crescita e rimodellamento di tipo “strain-gradient”, mostrando come selezionare opportunamente i descrittori cinematici della teoria e determinare le relative forze generalizzate. Inoltre, si provvederà a determinare sistematicamente legami costitutivi che mettano in risalto l’accoppiamento dei diversi fenomeni in esame. Infine, sarà data enfasi al ruolo della Geometria Differenziale nello studio dei tessuti biologici e di come il suo utilizzo emerga naturalmente all’interno dei problemi considerati. Il corso prevede, a valle della presentazione di alcuni modelli, la loro implementazione in un software commerciale, dando anche la possibilità di evidenziare e discutere alcune questioni computazionali in seno alla simulazione numerica dei suddetti modelli.
The course sets itself the scope of presenting some mathematical models developed within the study of biological tissues, and obtained by employing, and adapting to the biomechanical framework, some aspects of the "strain-gradient" theory of inelastic processes. This theory, in its original version, was formulated by Gurtin and Anand in a series of works published in the first five years of this century. The need for offering the present course stems from the increasing interest of the scientific community towards the "strain-gradient" theories in the research context of Mathematical Physics and, more specifically, of Continuum Mechanics. The context within which the programed topics will be developed is that of the Mechanics of Porous Media, presented under the light shed by modern Continuum Mechanics, and suitably generalized to frame some biological phenomena, such as the growth and remodeling of tissues. Remodeling and growth are the result of biological events of various nature, whose study requires specific modeling approaches. In this sense, "strain-gradient" theories offer tools of investigation that are useful to identify phenomenologies of biological interest that involve different scales of length and time and that cannot be described by means of the more "classical" models. Moreover, the approach based on the "strain-gradient" theories allows to reach a higher accuracy in the investigation of how the various processes concurring to remodeling and growth of a given tissue influence themselves reciprocally, thereby providing the possibility of observing new interactions and proposing a better resolution of the phenomenology. On the basis of what has been said so far, the course intends to provide the Participants with the tools of investigation necessary to study some models of growth and remodeling in the light of "strain-gradient" theories. This is done with the purpose of showing how such approach permits to obtain results that are coherent with the classical models, while being more exhaustive. Starting from a theory of biological tissues based on the mechanics of porous media, we shall study some models of growth and remodeling of "strain-gradient" type, showing how to select the most suitable kinematic descriptors of the theory and how to determine the generalized forces associated with them. Moreover, we will determine systematically constitutive laws capable of highlighting the coupling among the phenomena under investigation. Finally, emphasis will be put on the role of Differential Geometry on the study of biological tissues and on how its employment emerges naturally in the context of the considered problems. After presenting various models, the course aims at their implementation in a commercial software, giving also the possibility to evidence and discuss some computational issues in the context of the numerical simulation of the aforementioned models.
Corsi di base di Analisi Matematica 1, di Analisi Matematica 2, e di Algebra Lineare e Geometria. Meccanica Razionale, Meccanica dei Continui, Meccanica dei Mezzi Porosi (facoltativi).
Basic courses of Mathematical Analysis 1, of Mathematical Analysis 2, and of Linear Algebra and Geometry. Rational (Analytical) Mechanics, Mechanics of Continua, Mechanics of Porous Media (optional).
1. La Meccanica dei Mezzi Porosi nell'ambito dei tessuti biologici (4 ore). 1.1. Mezzi porosi e sistemi multifasici come strumenti naturali per la descrizione dei tessuti biologici. 1.2. Gli elementi fondamentali della Meccanica dei Continui per descrivere gli aspetti più essenziali della crescita (variazione di massa) e del rimodellamento (evoluzione delle proprietà meccaniche) dei tessuti biologici. 1.3. Mezzi porosi biologici fibro-rinforzati: modelli di riorientazione delle fibre e "transizioni di fase" strutturali. 2. Teorie "strain-gradient" per la descrizione costitutiva dei fenomeni anelastici (3 ore). 2.1. Una introduzione alla teoria di Gurtin e Anand di "strain-gradient plasticity" e il suo adattamento ai mezzi biologici multifasici. 2.2. Un approccio "strain-gradient" alla descrizione della crescita e del rimodellamento dei tessuti biologici. 3. Connessione tra Geometria Differenziale e fenomeni biologici (3 ore). 3.1. Trasformazioni strutturali associate alla crescita e al rimodellamento di mezzi biologici e la necessità di descrittori che coinvolgono i fenomeni anelastici e la loro risoluzione spaziale nel contesto dei materiali multifasici. 3.2. Evoluzione di metriche, curvatura e torsione come strumenti di base per la modellizzazione delle trasformazioni strutturali dei mezzi biologici indotte dalla crescita e dal rimodellamento. 4. Implementazione al calcolatore (10 ore). 4.1. Introduzione agli aspetti più rilevanti del software commerciale impiegato. 4.2. Una introduzione ai metodi e agli algoritmi adottati per i problemi biologici considerati. 4.3. Implementazione efficiente dei modelli trattati nel corso mediante la scrittura di routine "in-house".
1. The Mechanics of Porous Media in the realm of biological tissues (4 hours). 1.1. Porous media and multiphasic systems as natural tools for describing biological tissues. 1.2. The fundamental continuum mechanical framework for modeling the most essential features of the growth (variation of mass) and remodeling (evolution of material properties) of biological tissues. 1.3. Biological porous media with fiber reinforcement: models of fiber reorientation and structural "phase transitions". 2. "Strain-gradient" theories for the constitutive description of inelastic phenomena (3 hours). 2.1. An introduction to the Gurtin-Anand theory of “strain-gradient plasticity”, and its adaptation to biological multiphasic media. 2.2. A strain-gradient approach to the description of growth and remodeling of biological tissues. 3. Connection between Differential Geometry and biological phenomena (3 hours). 3.1. Structural transformations associated with the growth and remodeling of biological media and the call for descriptors involving inelasticity and its spatial resolution in the context of multiphasic materials. 3.2. Evolving metrics, curvature and torsion as basic tools for modeling the structural transformations of biological media induced by growth and remodeling. 4. Computer implementation (10 hours). 4.1. Introduction to the most relevant features of the adopted commercial software. 4.2. An overview on the methods and algorithms adopted for the considered biological problems. 4.2. Efficient implementation of the models addressed in the course by writing in-house routines.
Modalità mista
Mixed mode
Presentazione orale
Oral presentation
P.D.2-2 - Maggio
P.D.2-2 - May
Pur avendo optato per la "modalità mista" di erogazione della didattica, si raccomanda sentitamente di frequentare il corso "in presenza", e si consiglia la partecipazione mista ai/alle Partecipanti che, non potendo essere fisicamente al Politecnico di Torino (luogo in cui verrà effettuato il corso), non possono seguire le lezioni in presenza. Benché vi sia una sovrapposizione marginale, e necessaria, tra i contenuti del corso qui presentato e il programma del corso "Metodi Variazionali in Biomeccanica", tenuto da me (A. Grillo) nel primo semestre dell'anno accademico corrente (2021/2022) per il Dottorato in "Matematica Pura e Applicata", i due corsi sono profondamente diversi l'uno dall'altro, sia dal punto di vista dei contenuti sia da quello dell'approccio seguito. Infatti, la sovrapposizione è dovuta unicamente al fatto che la crescita ed il rimodellamento dei tessuti biologici sono i fenomeni "obiettivo" per entrambi i corsi. Tuttavia, il corso qui proposto è specializzato ai mezzi porosi e multifasici (laddove il precedente considerava solo continui monofasici), si focalizza sulle teorie "strain-gradient" dei processi anelastici (che non erano considerate nel corso precedente) ed è votato alla modellizzazione costitutiva dei materiali biologici nel linguaggio della Geometria Differenziale. Inoltre, metà del corso presente è concentrata esclusivamente sulla implementazione al calcolatore dei modelli proposti (un altro aspetto che non era stato considerato nel corso precedente) e sui metodi matematici richiesti per tale scopo.
Even though we have opted for teaching the classes in "blended mode", we strongly recommend to attend the course "in presence", and we suggest the participation online for those Participants who cannot be physically present at the Politecnico di Torino to attend the course. Although a marginal, and necessary, overlap exists between the contents of the present course and the program of the course “Variational Methods in Biomechanics”, held by myself (A. Grillo) in the first semester of the current academic year (2021/2022) for the Doctorate in "Pure and Applied Mathematics", the two courses are deeply different from each other, both from the point of view of the contents and from the point of view of the approach that is followed. Indeed, the overlap is only due to the fact that both courses address growth and remodeling as the “target” phenomena that are considered. However, the course that we are offering here is specialized to porous and multiphasic media (whereas the former one considered solely monophasic continua), it focuses on the “strain-gradient theories” of inelastic processes (which were not considered in the previous course) and is devoted to the constitutive modeling of biological materials, formulated in the language of Differential Geometry. Moreover, half of the present course is concentrated exclusively on the computer implementation of the proposed models (another aspect that was disregarded in the previous course) and on the mathematical methods needed for this purpose.


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