Servizi per la didattica
PORTALE DELLA DIDATTICA

Matematica IV

01ECPDC

A.A. 2019/20

Lingua dell'insegnamento

Italiano

Corsi di studio

Corso di Laurea in Ingegneria Informatica - Torino

Organizzazione dell'insegnamento
Didattica Ore
Docenti
Docente Qualifica Settore h.Lez h.Es h.Lab h.Tut Anni incarico
Collaboratori
Espandi

Didattica
SSD CFU Attivita' formative Ambiti disciplinari
MAT/05
MAT/05
1
5
C - Affini o integrative
A - Di base
Cultura scientifica, umanistica, giuridica, economica, socio-politica
Matematica, informatica e statistica

Scopi

Comprensione delle idee di base e capacità di utilizzo pratico delle funzioni analitiche, delle serie di Fourier, delle distribuzioni e delle trasformate di Fourier e di Laplace.

Precedenze di acquisto:

Contenuti del corso svolto presso il Politecnico di Torino:

  • Esponenziale complesso
  • Polinomi e serie di Fourier
  • Funzioni analitiche
  • Teoremi di Cauchy e serie di Laurent
  • Residui e decomposizione in fratti semplici col metodo dei residui
  • Distribuzioni, derivate e limiti nel senso delle distribuzioni
  • Trasformate di Fourier di funzioni e di distribuzioni
  • Proprietà delle trasformate e trasformate principali
  • Antitrasformate di Fourier
  • Trasformate di Fourier di segnali periodici
  • Trasformate e antitrasformate di Laplace

Testi consigliati dal docente responsabile del corso:

  • M. Codegone, Metodi Matematici per l'Ingegneria, Zanichelli Editore, Bologna 1995. [Errata Corrige (formato .pdf 55 KB)]
  • M. Codegone, M. Calanchi, Metodi Matematici per l'Ingegneria, Esercizi, Schemi dei lucidi, Pitagora Editrice, Bologna 1999. [Errata Corrige (formato .pdf 54 KB)]

Presso la Segreteria Didattica sono disponibili le slide delle video lezioni, in formato cartaceo.

Appunti lezioni di tutorato, a cura di A. Capuzzo.

Materiale in formato PDF messo a disposizione dal docente per l'A.A. 08/09:

Materiale degli anni accademici precedenti

Dispensa di esercizi svolti realizzata dai Proff.ri Codegone, Sokolija: Esercizi svolti (formato .pdf 105 KB)

Videocorso utilizzato: Metodi Matematici per l'ingegneria

  • Prof. Codegone Marco, Politecnico di Torino

Prof. Marco Codegone Politecnico di Torino

  • [1.] Numeri Complessi. Introduzione alla forma esponenziale - Richiami sulla forma cartesiana e sulla forma trigonometrica dei Numeri Complessi. Prodotto e quoziente come introduzione alla forma esponenziale.
  • [2.] Formula di Eulero - Esponenziale complesso, potenze e radici di numeri complessi e loro legami. Proprietà del modulo e dell'argomento.
  • [3.] Seni e coseni complessi. Logaritmi complessi - Seni e coseni, circolari e iperbolici, di numeri complessi e loro legami. Logaritmo complesso.
  • [4.] Funzioni a valori complessi - Funzioni di variabile reale a valori reali o complessi. Funzioni periodiche, lunghezza d'onda, frequenza e frequenza angolare.
  • [5.] Analisi Armonica - Armoniche elementari espresse in forma di seni e coseni e in forma di esponenziale complesso. Energia di una armonica.
  • [6.] Polinomi di Fourier - Polinomi di Fourier espressi in forma di funzioni circolari e in forma di esponenziali complessi. Energia di un polinomio di Fourier.
  • [7.] Polinomio di Fourier di un segnale x(t) - Polinomio di Fourier P(t) con coefficienti tali che sia minima l'energia della differenza tra il segnale x(t) e il polinomio P(t) stesso. Disuguaglianza di Bessel.
  • [8.] Serie di Fourier - Serie di Fourier. Convergenza nel senso dell'Energia. Identità di Parseval.
  • [9.] Convergenza puntuale e convergenza uniforme - Definizione di convergenza puntuale e uniforme. Segnali continui a tratti. Segnali regolarizzati. Significato dell'espressione: Segnale con derivata prima continua a tratti. Applicazioni alla serie di Fourier.
  • [10.] Funzioni di variabile complessa - Limite del rapporto incrementale. Integrali di linea in campo complesso.
  • [11.] Funzioni analitiche - Definizione di derivata e di olomorfia. Analiticità e condizioni di Cauchy-Riemann. Armonicità della parte reale e della parte immaginaria di una funzione analitica.
  • [12.] Formule integrali di Cauchy - Teorema di Cauchy. Formule integrali di Cauchy. Esistenza delle derivate di ogni ordine per le funzioni olomorfe.
  • [13.] Serie di Laurent - Serie di Taylor. Prova della formula di Eulero. Serie di Laurent.
  • [14.] Zeri e poli del primo ordine - Dallo sviluppo di Laurent, discussione delle singolarità isolate e presentazioni equivalenti per singolarità apparenti, zeri e poli primo ordine.
  • [15.] Poli di ordine qualunque e singolarità essenziali - A partire dallo sviluppo di Laurent, classificazione delle singolarità isolate e loro definizioni equivalenti.
  • [16.] Singolarità non uniformi. Singolarità non isolate. Il punto all'infinito - Sfera di Neumann e il punto all'infinito. Singolarità non uniformi e singolarità non isolate. Singolarità all'infinito.
  • [17.] Residui - Teorema dei residui e calcolo pratico dei residui per poli del primo ordine e di ordine superiore.
  • [18.] Integrali impropri con il metodo dei residui - Integrali impropri di funzioni razionali lungo l'asse reale. Lemma di Jordan per il calcolo di integrali impropri lungo l'asse reale.
  • [19.] Lemma di Jordan - Lemma di Jordan per il calcolo di integrali lungo cammini paralleli all'asse immaginario.
  • [20.] Decomposizione in fratti semplici - poli semplici - Decomposizione in fratti semplici di funzioni razionali con poli semplici con il metodo dei residui.
  • [21.] Decomposizione in fratti multipli - poli multipli - Decomposizione in fratti semplici di funzioni razionali con poli multipli con il metodo dei residui.
  • [22.] Decomposizione in fratti semplici - poli complessi coniugati - Decomposizioni in fratti semplici di funzioni razionali con poli complessi coniugati con il metodo dei residui, con una presentazione idonea in vista della antitrasformata di Laplace.
  • [23.] Distribuzioni - Presentazione delle funzioni come funzionali. Funzionali che non provengono da funzioni, delta di Dirac. Limiti nel senso delle distribuzioni.
  • [24.] Derivate distribuzionali - Definizione di derivata distribuzionale. Regole pratiche per il calcolo grafico delle derivate distribuzionali di funzioni polinomiali a tratti.
  • [25.] Prodotto di convoluzione - Modelli lineari, continui, invarianti per traslazioni temporali e causali. metodo della risposta impulsiva e convoluzione. Proprietà della convoluzione.
  • [26.] Trasformata di Fourier - Definizione per funzioni e per distribuzioni. Antitrasformata di Fourier.
  • [27.] Proprietà della trasformata di Fourier - Proprietà di linearità, traslazione nel tempo, traslazione in frequenza, riscaldamento, derivata nel tempo, derivata in frequenza.
  • [28.] Ulteriori proprietà della trasformata di Fourier - Proprietà di simmetria, coniugazione, realtà e parità, realtà e disparità, convoluzione, prodotto.
  • [29.] Equazioni con distribuzioni. Trasformata di Fourier del gradino - Equazioni in ambito distribuzionale. Trasformata di Fourier del gradino unitario.
  • [30.] Esempi di trasformate di Fourier - Esempi di trasformate di segnali lineari a tratti, trasformate di seni e coseni.
  • [31.] Distribuzioni limitate. Distribuzioni a crescita lenta - Ancora esempi di trasformate di u(t) per un esponenziale complesso. Distribuzioni limitate e distribuzioni temperate o a crescita lenta. Esistenza della trasformata di Fourier.
  • [32.] Treno di impulsi - Treno di impulsi come esempio di distribuzione limitata e periodica. Trasformata di Fourier del treno di impulsi.
  • [33.] Trasformata di Fourier di distribuzioni periodiche - Trasformata di Fourier di distribuzioni periodiche. Legami tra serie e trasformata di Fourier per funzioni periodiche.
  • [34.] Esempi di trasformate di Fourier di segnali periodici - Esempi di trasformate di Fourier di segnali periodici, mettendo in evidenza la funzione modulante il treno di impulsi nel dominio delle frequenze.
  • [35.] Trasformata di Laplace - Definizione di trasformata di Laplace bilatera per funzioni e distribuzioni. Dominio della trasformata di Laplace. Legami con la trasformata di Fourier quando l'asse immaginario è contenuto nel dominio della trasformata di Laplace.
  • [36.] Proprietà della trasformata di Laplace - Proprietà di linearità, traslazione nel tempo, traslazione rispetto a s, riscaldamento, derivata nel tempo, derivata rispetto a s, coniugazione, Hermitianeità, convoluzione.
  • [37.] Esercizi di trasformate di Laplace. Trasformata unilatera di Laplace - Trasformate di Laplace di u(t) per esponenziali complessi e della gaussiana. Trasformata unilatera di Laplace e proprietà di derivazione in t.
  • [38.] Antitrasformata di Laplace - Definizione di antitrasformata di Laplace. Calcolo delle antitrasformate di fuzioni razionali (eventualmente moltiplicate per esponenziali complessi).
  • [39.] Trasformata di Laplace di segnali periodici per t¿0. Teoremi del valore finale e iniziale - Definizione di segnale periodico per t¿0 e sua trasformata di Laplace. Posizione dei poli nel piano complesso di X(s) e comportamento all'infinito di x(t). Teoremi del valore finale e iniziale.
  • [40.] Uso della trasformata di Laplace nei modelli differenziali. Separazione dei termini di transitorio e di regime - Uso della trasformata di Laplace nei modelli differenziali. Esempio del circuito RC con ingresso un generatore di tensione e uscita la tensione sul condensatore. Risposta all'impulso con condizioni iniziali nulle. Risposta forzata con condizioni iniziali nulle. Per il circuito RC passabasso esempio di risposta alla porta. Risposta a segnali periodici per t¿0 e separazione di transitorio e di regime.

Questa raccolta di materiale, prodotta ad uso interno, è stata realizzata per i moduli del Politecnico di Torino.
Ne è vietata la riproduzione e qualsiasi forma di commercializzazione.

Informazioni sul formato PDF

La prova scritta è costituita da tre esercizi aperti e da sette test a risposta multipla, durante i quali è possibile consultare solamente le tavole. Gli esercizi aperti sono del tipo di quelli disponibili in rete e i test sono del tipo dei 100 test presenti nel testo di esercizi di Codegone - Calanchi.



© Politecnico di Torino
Corso Duca degli Abruzzi, 24 - 10129 Torino, ITALY
m@il