Scopi

Comprensione delle idee di base e capacità di utilizzo pratico delle funzioni analitiche, delle serie di Fourier, delle distribuzioni e delle trasformate di Fourier e di Laplace.

Precedenze di acquisto:

• Matematica III

Contenuti del corso svolto presso il Politecnico di Torino:

• Esponenziale complesso
• Polinomi e serie di Fourier
• Funzioni analitiche
• Teoremi di Cauchy e serie di Laurent
• Residui e decomposizione in fratti semplici col metodo dei residui
• Distribuzioni, derivate e limiti nel senso delle distribuzioni
• Trasformate di Fourier di funzioni e di distribuzioni
• Proprietà delle trasformate e trasformate principali
• Antitrasformate di Fourier
• Trasformate di Fourier di segnali periodici
• Trasformate e antitrasformate di Laplace

Testi consigliati dal docente responsabile del corso:

• M. Codegone, Metodi Matematici per l'Ingegneria, Zanichelli Editore, Bologna 1995. [Errata Corrige ( 55 KB)]
• M. Codegone, M. Calanchi, Metodi Matematici per l'Ingegneria, Esercizi, Schemi dei lucidi, Pitagora Editrice, Bologna 1999. [Errata Corrige ( 54 KB)]

Presso la Segreteria Didattica sono disponibili le slide delle video lezioni, in formato cartaceo.

Appunti lezioni di tutorato, a cura di A. Capuzzo.

• Appunti (versione 1.0) ( 3.73 Mb)

Materiale in formato PDF messo a disposizione dal docente per l'A.A. 08/09:

• Scheda n. 1 ( 50 KB)
• Scheda n. 2 ( 43 KB)
• Scheda n. 3 ( 82 KB)
• Scheda n. 4 ( 63 KB)
• Scheda n. 5 ( 49 KB)
• Scheda n. 6 ( 66 KB)
• Scheda n. 7 ( 60 KB)
• Scheda n. 8 ( 63 KB)
• Scheda n. 9 ( 56 KB)
• Scheda n. 10 ( 53 KB)
• Scheda n. 11 ( 76 KB)
• Scheda n. 12 ( 56 KB)
• Scheda n. 13 ( 57 KB)
• Scheda n. 14 ( 71 KB)

Materiale degli anni accademici precedenti

• Scheda n.15 ( 62 KB)

Dispensa di esercizi svolti realizzata dai Proff.ri Codegone, Sokolija: Esercizi svolti ( 105 KB)

Videocorso utilizzato: Metodi Matematici per l'ingegneria

• Prof. Codegone Marco, Politecnico di Torino

• [1.] Numeri Complessi. Introduzione alla forma esponenziale - Richiami sulla forma cartesiana e sulla forma trigonometrica dei Numeri Complessi. Prodotto e quoziente come introduzione alla forma esponenziale.
• [2.] Formula di Eulero - Esponenziale complesso, potenze e radici di numeri complessi e loro legami. Proprietà del modulo e dell'argomento.
• [3.] Seni e coseni complessi. Logaritmi complessi - Seni e coseni, circolari e iperbolici, di numeri complessi e loro legami. Logaritmo complesso.
• [4.] Funzioni a valori complessi - Funzioni di variabile reale a valori reali o complessi. Funzioni periodiche, lunghezza d'onda, frequenza e frequenza angolare.
• [5.] Analisi Armonica - Armoniche elementari espresse in forma di seni e coseni e in forma di esponenziale complesso. Energia di una armonica.
• [6.] Polinomi di Fourier - Polinomi di Fourier espressi in forma di funzioni circolari e in forma di esponenziali complessi. Energia di un polinomio di Fourier.
• [7.] Polinomio di Fourier di un segnale x(t) - Polinomio di Fourier P(t) con coefficienti tali che sia minima l'energia della differenza tra il segnale x(t) e il polinomio P(t) stesso. Disuguaglianza di Bessel.
• [8.] Serie di Fourier - Serie di Fourier. Convergenza nel senso dell'Energia. Identità di Parseval.
• [9.] Convergenza puntuale e convergenza uniforme - Definizione di convergenza puntuale e uniforme. Segnali continui a tratti. Segnali regolarizzati. Significato dell'espressione: Segnale con derivata prima continua a tratti. Applicazioni alla serie di Fourier.
• [10.] Funzioni di variabile complessa - Limite del rapporto incrementale. Integrali di linea in campo complesso.
• [11.] Funzioni analitiche - Definizione di derivata e di olomorfia. Analiticità e condizioni di Cauchy-Riemann. Armonicità della parte reale e della parte immaginaria di una funzione analitica.
• [12.] Formule integrali di Cauchy - Teorema di Cauchy. Formule integrali di Cauchy. Esistenza delle derivate di ogni ordine per le funzioni olomorfe.
• [13.] Serie di Laurent - Serie di Taylor. Prova della formula di Eulero. Serie di Laurent.
• [14.] Zeri e poli del primo ordine - Dallo sviluppo di Laurent, discussione delle singolarità isolate e presentazioni equivalenti per singolarità apparenti, zeri e poli primo ordine.
• [15.] Poli di ordine qualunque e singolarità essenziali - A partire dallo sviluppo di Laurent, classificazione delle singolarità isolate e loro definizioni equivalenti.
• [16.] Singolarità non uniformi. Singolarità non isolate. Il punto all'infinito - Sfera di Neumann e il punto all'infinito. Singolarità non uniformi e singolarità non isolate. Singolarità all'infinito.
• [17.] Residui - Teorema dei residui e calcolo pratico dei residui per poli del primo ordine e di ordine superiore.
• [18.] Integrali impropri con il metodo dei residui - Integrali impropri di funzioni razionali lungo l'asse reale. Lemma di Jordan per il calcolo di integrali impropri lungo l'asse reale.
• [19.] Lemma di Jordan - Lemma di Jordan per il calcolo di integrali lungo cammini paralleli all'asse immaginario.
• [20.] Decomposizione in fratti semplici - poli semplici - Decomposizione in fratti semplici di funzioni razionali con poli semplici con il metodo dei residui.
• [21.] Decomposizione in fratti multipli - poli multipli - Decomposizione in fratti semplici di funzioni razionali con poli multipli con il metodo dei residui.
• [22.] Decomposizione in fratti semplici - poli complessi coniugati - Decomposizioni in fratti semplici di funzioni razionali con poli complessi coniugati con il metodo dei residui, con una presentazione idonea in vista della antitrasformata di Laplace.
• [23.] Distribuzioni - Presentazione delle funzioni come funzionali. Funzionali che non provengono da funzioni, delta di Dirac. Limiti nel senso delle distribuzioni.
• [24.] Derivate distribuzionali - Definizione di derivata distribuzionale. Regole pratiche per il calcolo grafico delle derivate distribuzionali di funzioni polinomiali a tratti.
• [25.] Prodotto di convoluzione - Modelli lineari, continui, invarianti per traslazioni temporali e causali. metodo della risposta impulsiva e convoluzione. Proprietà della convoluzione.
• [26.] Trasformata di Fourier - Definizione per funzioni e per distribuzioni. Antitrasformata di Fourier.
• [27.] Proprietà della trasformata di Fourier - Proprietà di linearità, traslazione nel tempo, traslazione in frequenza, riscaldamento, derivata nel tempo, derivata in frequenza.
• [28.] Ulteriori proprietà della trasformata di Fourier - Proprietà di simmetria, coniugazione, realtà e parità, realtà e disparità, convoluzione, prodotto.
• [29.] Equazioni con distribuzioni. Trasformata di Fourier del gradino - Equazioni in ambito distribuzionale. Trasformata di Fourier del gradino unitario.
• [30.] Esempi di trasformate di Fourier - Esempi di trasformate di segnali lineari a tratti, trasformate di seni e coseni.
• [31.] Distribuzioni limitate. Distribuzioni a crescita lenta - Ancora esempi di trasformate di u(t) per un esponenziale complesso. Distribuzioni limitate e distribuzioni temperate o a crescita lenta. Esistenza della trasformata di Fourier.
• [32.] Treno di impulsi - Treno di impulsi come esempio di distribuzione limitata e periodica. Trasformata di Fourier del treno di impulsi.
• [33.] Trasformata di Fourier di distribuzioni periodiche - Trasformata di Fourier di distribuzioni periodiche. Legami tra serie e trasformata di Fourier per funzioni periodiche.
• [34.] Esempi di trasformate di Fourier di segnali periodici - Esempi di trasformate di Fourier di segnali periodici, mettendo in evidenza la funzione modulante il treno di impulsi nel dominio delle frequenze.
• [35.] Trasformata di Laplace - Definizione di trasformata di Laplace bilatera per funzioni e distribuzioni. Dominio della trasformata di Laplace. Legami con la trasformata di Fourier quando l'asse immaginario è contenuto nel dominio della trasformata di Laplace.
• [36.] Proprietà della trasformata di Laplace - Proprietà di linearità, traslazione nel tempo, traslazione rispetto a s, riscaldamento, derivata nel tempo, derivata rispetto a s, coniugazione, Hermitianeità, convoluzione.
• [37.] Esercizi di trasformate di Laplace. Trasformata unilatera di Laplace - Trasformate di Laplace di u(t) per esponenziali complessi e della gaussiana. Trasformata unilatera di Laplace e proprietà di derivazione in t.
• [38.] Antitrasformata di Laplace - Definizione di antitrasformata di Laplace. Calcolo delle antitrasformate di fuzioni razionali (eventualmente moltiplicate per esponenziali complessi).
• [39.] Trasformata di Laplace di segnali periodici per t¿0. Teoremi del valore finale e iniziale - Definizione di segnale periodico per t¿0 e sua trasformata di Laplace. Posizione dei poli nel piano complesso di X(s) e comportamento all'infinito di x(t). Teoremi del valore finale e iniziale.
• [40.] Uso della trasformata di Laplace nei modelli differenziali. Separazione dei termini di transitorio e di regime - Uso della trasformata di Laplace nei modelli differenziali. Esempio del circuito RC con ingresso un generatore di tensione e uscita la tensione sul condensatore. Risposta all'impulso con condizioni iniziali nulle. Risposta forzata con condizioni iniziali nulle. Per il circuito RC passabasso esempio di risposta alla porta. Risposta a segnali periodici per t¿0 e separazione di transitorio e di regime.

Questa raccolta di materiale, prodotta ad uso interno, è stata realizzata per i moduli del Politecnico di Torino.
Ne è vietata la riproduzione e qualsiasi forma di commercializzazione.

• Appello del 20 Marzo 1999 ( 63 KB) e soluzione ( 30 KB)
• Appello del 25 Maggio 2004 ( 89 KB)

Informazioni sul formato PDF

La prova scritta è costituita da tre esercizi aperti e da sette test a risposta multipla, durante i quali è possibile consultare solamente le tavole. Gli esercizi aperti sono del tipo di quelli disponibili in rete e i test sono del tipo dei 100 test presenti nel testo di esercizi di Codegone - Calanchi.