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PORTALE DELLA DIDATTICA

Geometria differenziale

01LCUMQ

A.A. 2021/22

Lingua dell'insegnamento

Italiano

Corsi di studio

Corso di Laurea in Matematica Per L'Ingegneria - Torino

Organizzazione dell'insegnamento
Didattica Ore
Lezioni 40
Esercitazioni in aula 20
Docenti
Docente Qualifica Settore h.Lez h.Es h.Lab h.Tut Anni incarico
Manno Giovanni   Professore Ordinario MAT/03 40 20 0 0 2
Collaboratori
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Didattica
SSD CFU Attivita' formative Ambiti disciplinari
MAT/03 6 A - Di base Formazione matematica di base
2021/22
La scelta di un opportuno sistema di riferimento rispetto al quale descrivere un dato fenomeno è uno dei problemi base per qualsiasi scienza ingegneristica. Uno dei principali obiettivi dell'insegnamento è affrontare questo problema tramite l'introduzione e lo studio dei concetti fondamentali della geometria differenziale di curve e superfici, con particolare riguardo alla nozione di invarianza e di curvatura.
The choice of a reference system to use to describe a given phenomenon is one of the basic problems for any engineering science. One of the main objectives of the course is to address this problem through the introduction and study of the fundamental concepts of differential geometry of curves and surfaces, with particular emphasis to the notion of invariance and curvature.
Al termine dell’insegnamento gli studenti dovranno essere in grado di padroneggiare oggetti geometrici di base della Geometria Differenziale quali campi vettoriali, forme differenziali, metriche e, più in generale, campi tensoriali. Dovranno altresì essere in grado di calcolare invarianti geometrici come curvatura, torsione ecc. e di elaborare per iscritto in modo rigoroso, chiaro e logico (tramite definizioni, esempi e dimostrazioni dei risultati principali) gli argomenti trattati durante l'insegnamento.
The student must be able to compute geometric invariants (as curvature, torsion etc.) and to handle geometrical problems coming from the study of curves and surfaces. The student must also be able to elaborate, in writing, in a rigorous, clear and logical way (through definitions, examples and proofs of the main results) the topics covered during the course.
Conoscenza degli argomenti trattati nell'insegnamento di Analisi Matematica I, Analisi Matematica II e Algebra Lineare e Geometria.
Knowledge of the topics treated in the courses of Mathematical Analysis I and Linear Algebra and Geometry.
1) Curve in spazi Euclidei Curve parametrizzate, regolari e bi-regolari: retta tangente e punti di flesso. Parametrizzazione mediante l'ascissa curvilinea. Lunghezza di un arco di curva. Triedro di Frenet, curvatura e torsione. Teorema di esistenza e unicità delle curve bi-regolari con curvatura e torsione assegnate. 2) Calcolo Tensoriale Spazio tangente e cotangente, differenziale e codifferenziale di una funzione. Cambiamenti di coordinate e loro matrice rappresentativa. Campi vettoriali e loro linee di flusso. Forme differenziali. Metriche. Tensori di tipo (p,q). 3) Superfici in spazi Euclidei Superfici parametrizzate. Superfici regolari e loro spazio tangente. Prima e seconda forma fondamentale di una superficie. Mappa di Gauss. Operatore forma. Curvature principali, curvatura media e curvatura di Gauss. Invarianza isometrica della curvatura di Gauss. Curve geodetiche di una superficie. Integrazione e area di una superficie. Teorema di Gauss-Bonnet.
Curves in Euclidean spaces. Parametrized curves, regular and bi-regular curves: tangent line and inflection points. Parametrization through the arc-length. Length of curves and rectifiability. Frenet trihedron, curvature and torsion. Theorem of existence and uniqueness of bi-regular curves with assigned speed, curvature and torsion. Surfaces in Euclidean spaces. Parametrized surfaces, regular surfaces and their tangent space. First and second fundamental form of a surface. Gauss map. Shape oprator. Principal curvatures. Mean curvature. Gaussian curvature. Isometric invarianve of the Gaussian curvature. Geodesic curves on surfaces. Integration and area of a surface. Gauss-Bonnet theorem.
L'insegnamento consta di lezioni di teoria ed esercitazioni. Le esercitazioni riguarderanno principalmente lo svolgimento di esercizi relativi alla parte teorica. Si prevedono 40 ore di teoria e 20 di esercitazioni. Saranno caricati sul portale della didattica le note delle lezioni ed esempi di prove d’esame. La struttura dell'insegnamento rimarrà la stessa (40 ore di teoria e 20 ore di esercitazioni) nell'eventualità di lezioni in remoto. In questo caso verrà utilizzata la Virtual Classroom e le lezioni si svolgeranno sulla base di note scritte preventivamente dal docente e caricate sul portale della didattica.
The course consists of lectures on the theoretical part of the program and of practical classes. During the practical classes will be performed exercises related to the theoretical part of the course. In the (likely) case of online lectures, the Virtual Classroom will be used. In this case, the lectures will be based on notes written in advance by the professor and uploaded on the web-page of the course.
- M. Abate, F. Tovena: Curve e Superfici, Springer - Martin Lipschultz: Differential Geometry, Schaum's outlines Durante l'insegnamento saranno caricati sul portale della didattica le note delle lezioni
- Martin Lipschultz, Differential Geometry, Schaum's outlines During the course the lecture notes will be uploaded on the web-page of the course.
Modalità di esame: Prova scritta (in aula); Prova orale facoltativa;
Exam: Written test; Optional oral exam;
L'esame finale mira a verificare l'acquisizione delle conoscenze e delle capacità descritte nel campo "Risultati di apprendimento attesi". La valutazione è basata su una prova scritta della durata di 1 ora e 45 minuti. La prova scritta è costituita da 6 domande, di cui 3 con un punteggio massimo di 5 punti ciascuna e 3 con un punteggio massimo di 6 punti ciascuna. Il voto finale è dato dalla somma dei punteggi parziali. L'esame è superato se si raggiunge una votazione complessiva maggiore o uguale a 18. Un punteggio maggiore di 31 comporta l’attribuzione della lode. Durante la prova non sarà possibile la consultazione di materiale didattico. Sarà possibile l'uso di una calcolatrice. L'esame orale è a discrezione del docente. L'eventuale esame orale riguarderà un approfondimento dell'esame scritto e domande sull'intero programma dell'insegnamento.
Gli studenti e le studentesse con disabilità o con Disturbi Specifici di Apprendimento (DSA), oltre alla segnalazione tramite procedura informatizzata, sono invitati a comunicare anche direttamente al/la docente titolare dell'insegnamento, con un preavviso non inferiore ad una settimana dall'avvio della sessione d'esame, gli strumenti compensativi concordati con l'Unità Special Needs, al fine di permettere al/la docente la declinazione più idonea in riferimento alla specifica tipologia di esame.
Exam: Written test; Optional oral exam;
In addition to the message sent by the online system, students with disabilities or Specific Learning Disorders (SLD) are invited to directly inform the professor in charge of the course about the special arrangements for the exam that have been agreed with the Special Needs Unit. The professor has to be informed at least one week before the beginning of the examination session in order to provide students with the most suitable arrangements for each specific type of exam.
Modalità di esame: Prova orale facoltativa; Prova scritta su carta con videosorveglianza dei docenti; Prova scritta tramite PC con l'utilizzo della piattaforma di ateneo;
L'esame finale mira a verificare l'acquisizione delle conoscenze e delle capacità descritte nel campo "Risultati di apprendimento attesi". La valutazione è basata su una prova scritta della durata di 1 ora e 45 minuti. La prova scritta è costituita da 6 domande, di cui 3 con un punteggio massimo di 5 punti ciascuna e 3 con un punteggio massimo di 6 punti ciascuna. Il voto finale è dato dalla somma dei punteggi parziali. L'esame è superato se si raggiunge una votazione complessiva maggiore o uguale a 18. Un punteggio maggiore di 31 comporta l’attribuzione della lode. Durante la prova non sarà possibile la consultazione di materiale didattico. Sarà possibile l'uso di una calcolatrice. Le pagine della prova scritta dovranno essere scansionate o fotografate e caricate su "consegna elaborati" in un unico file pdf. L'esame orale è a discrezione del docente. L'eventuale esame orale riguarderà un approfondimento dell'esame scritto e domande sull'intero programma dell'insegnamento.
Exam: Optional oral exam; Paper-based written test with video surveillance of the teaching staff; Computer-based written test using the PoliTo platform;
The evaluation is based on a written exam that lasts one hour and half. The oral examination is ar the discretion of the professor. The written exam is formed by 6 questions, whose 3 are evaluated up to 5 points each and 3 up to 6 points each. The final score is the sum of the partial scores. The exam is passed if one obtains a total score greater or equal to 18. A score greater or equal to 31 implies the "laude". During the written exam is not possible to consult any text/note/teaching material. It will be possible to use the calculator. Examples of written exams will be uploaded on the web-page of the course.
Modalità di esame: Prova scritta (in aula); Prova orale facoltativa; Prova scritta su carta con videosorveglianza dei docenti; Prova scritta tramite PC con l'utilizzo della piattaforma di ateneo;
L'esame finale mira a verificare l'acquisizione delle conoscenze e delle capacità descritte nel campo "Risultati di apprendimento attesi". La valutazione è basata su una prova scritta della durata di 1 ora e 45 minuti. La prova scritta è costituita da 6 domande, di cui 3 con un punteggio massimo di 5 punti ciascuna e 3 con un punteggio massimo di 6 punti ciascuna. Il voto finale è dato dalla somma dei punteggi parziali. L'esame è superato se si raggiunge una votazione complessiva maggiore o uguale a 18. Un punteggio maggiore di 31 comporta l’attribuzione della lode. Durante la prova non sarà possibile la consultazione di materiale didattico. Sarà possibile l'uso di una calcolatrice. Nel caso di esame in remoto, le pagine della prova scritta dovranno essere scansionate o fotografate e caricate su "consegna elaborati" in un unico file pdf. L'esame orale è a discrezione del docente. L'eventuale esame orale riguarderà un approfondimento dell'esame scritto e domande sull'intero programma dell'insegnamento.
Exam: Written test; Optional oral exam; Paper-based written test with video surveillance of the teaching staff; Computer-based written test using the PoliTo platform;
The evaluation is based on a written exam that lasts one hour and half, both in the case of examination in attendance and of online examamination. The oral examination is ar the discretion of the professor. The written exam is formed by 6 questions, whose 3 are evaluated up to 5 points each and 3 up to 6 points each. The final score is the sum of the partial scores. The exam is passed if one obtains a total score greater or equal to 18. A score greater or equal to 31 implies the "laude". During the written exam is not possible to consult any text/note/teaching material. It will be possible to use the calculator. Examples of written exams will be uploaded on the web-page of the course.
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