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PORTALE DELLA DIDATTICA

Geometria differenziale

01LCUMQ

A.A. 2022/23

Lingua dell'insegnamento

Italiano

Corsi di studio

Corso di Laurea in Matematica Per L'Ingegneria - Torino

Organizzazione dell'insegnamento
Didattica Ore
Lezioni 40
Esercitazioni in aula 20
Docenti
Docente Qualifica Settore h.Lez h.Es h.Lab h.Tut Anni incarico
Manno Giovanni   Professore Ordinario MAT/03 40 20 0 0 2
Collaboratori
Espandi

Didattica
SSD CFU Attivita' formative Ambiti disciplinari
MAT/03 6 A - Di base Formazione matematica di base
Valutazione CPD 2022/23
2022/23
La scelta di un opportuno sistema di riferimento rispetto al quale descrivere un dato fenomeno è uno dei problemi alla base di qualsiasi Scienza Ingegneristica, Fisica e Matematica. Capire come cambia la descrizione di un fenomeno al cambiare del sistema di riferimento e, soprattutto, studiare l'esistenza di quantità (dette invarianti) che non cambiano al cambiare di tale sistema, è essenziale nel percorso formativo di un Ingegnere Matematico, costituendone un bagaglio culturale e professionale di fondamentale importanza. Uno dei principali obiettivi dell'insegnamento è affrontare il suddetto problema tramite l'introduzione e lo studio dei concetti fondamentali della Geometria Differenziale di curve e superfici di uno spazio euclideo, con particolare riguardo alla nozione di invarianza e di curvatura. Accanto agli approfondimenti teorici si dedicherà spazio ad esempi illustrativi che consentiranno allo studente di concretizzare i concetti appresi. Si farà ricorso altresì ad esempi pratici al fine di stimolare la riflessione sul modo in cui la natura obbedisce a precise leggi geometrico-differenziali.
The choice of an appropriate reference system against which to describe a given phenomenon is one of the basic problems of any Engineering, Physical and Mathematical Science. Understanding how the description of a phenomenon changes when the reference system changes is a crucial point. Furthermore, studying the existence of quantities (called invariants) that do not change when the reference system changes, is essential in the training course of a Mathematical Engineer, constituting a cultural and professional background of fundamental importance. One of the main objectives of the course is to address the above problem through the introduction and the study of the basic concepts of Differential Geometry of curves and surfaces of a Euclidean space, with particular regard to the notion of invariance and curvature. Alongside the theoretical insights, illustrative examples will be given with the purpose to allow the student to concretize the concepts he learned. Practical examples will be also used in order to stimulate reflections on how the nature obeys precise geometric-differential laws.
Al termine dell’insegnamento si chiederà allo studente: 1) di essere in grado di padroneggiare oggetti geometrici di base della Geometria Differenziale quali campi vettoriali, forme differenziali, metriche, campi tensoriali e, più in dettaglio, di rappresentare tali oggetti rispetto ad un arbitrario sistema di riferimento; 2) di saper calcolare invarianti di base delle curve e delle superfici di uno spazio euclideo, come, ad esempio, curvatura e torsione di una curva, curvatura media e Gaussiana di una superficie; 3) di essere in grado, sulla base delle conoscenze acquisite, di elaborare per iscritto in modo rigoroso, chiaro e logico (tramite definizioni, esempi e dimostrazioni dei risultati principali) gli argomenti trattati durante l'insegnamento.
The student must be able to compute geometric invariants (as curvature, torsion etc.) and to handle geometrical problems coming from the study of curves and surfaces. The student must also be able to elaborate, in writing, in a rigorous, clear and logical way (through definitions, examples and proofs of the main results) the topics covered during the course.
Conoscenza degli argomenti trattati nell'insegnamento di Analisi Matematica I, Analisi Matematica II e Algebra Lineare e Geometria. Preferibile ma non indispensabile qualche nozione di base di Topologia.
Knowledge of the topics treated in the courses of Mathematical Analysis I and Linear Algebra and Geometry.
1) Curve in spazi Euclidei Curve parametrizzate, regolari e bi-regolari: retta tangente e punti di flesso. Parametrizzazione mediante l'ascissa curvilinea. Lunghezza di un arco di curva. Triedro di Frenet, curvatura e torsione. Teorema di esistenza e unicità delle curve bi-regolari con curvatura e torsione assegnate. 2) Calcolo Tensoriale Spazio tangente e cotangente, differenziale e codifferenziale di una funzione. Cambiamenti di coordinate e loro matrice rappresentativa. Campi vettoriali e loro linee di flusso. Forme differenziali. Metriche. Tensori di tipo (p,q). 3) Superfici in spazi Euclidei Superfici parametrizzate. Superfici regolari e loro spazio tangente. Prima e seconda forma fondamentale di una superficie. Mappa di Gauss. Operatore forma. Curvature principali, curvatura media e curvatura di Gauss. Invarianza isometrica della curvatura di Gauss. Curve geodetiche di una superficie. Integrazione e area di una superficie. Teorema di Gauss-Bonnet.
Curves in Euclidean spaces. Parametrized curves, regular and bi-regular curves: tangent line and inflection points. Parametrization through the arc-length. Length of curves and rectifiability. Frenet trihedron, curvature and torsion. Theorem of existence and uniqueness of bi-regular curves with assigned speed, curvature and torsion. Surfaces in Euclidean spaces. Parametrized surfaces, regular surfaces and their tangent space. First and second fundamental form of a surface. Gauss map. Shape oprator. Principal curvatures. Mean curvature. Gaussian curvature. Isometric invarianve of the Gaussian curvature. Geodesic curves on surfaces. Integration and area of a surface. Gauss-Bonnet theorem.
L'insegnamento consta di 40 ore di lezioni teoriche e 20 di esercitazioni, così ripartite: 40 ore di lezione in aula mirate allo sviluppo della conoscenza: - del calcolo tensoriale in aperti di uno spazio euclideo; - della nozione di curvatura e torsione di una curva; - della nozione dei vari tipi di curvatura che si incontrano nella teoria delle superfici. 20 ore di esercitazione in aula mirate ad applicare le conoscenze acquisite: - nella risoluzione di esercizi anche dal carattere teorico; - nella discussione di problemi pratici come l'impiego della teoria degli invarianti nella progettazione. Saranno caricati sul portale della didattica le note delle lezioni ed esempi di prove d’esame. La struttura dell'insegnamento rimarrà la stessa (40 ore di teoria e 20 ore di esercitazioni) nell'eventualità di lezioni in remoto. In questo caso verrà utilizzata la Virtual Classroom e le lezioni si svolgeranno sulla base di note scritte preventivamente dal docente e caricate sul portale della didattica.
The course consists of lectures on the theoretical part of the program and of practical classes. During the practical classes will be performed exercises related to the theoretical part of the course. In the (likely) case of online lectures, the Virtual Classroom will be used. In this case, the lectures will be based on notes written in advance by the professor and uploaded on the web-page of the course.
- M. Abate, F. Tovena: Curve e Superfici, Springer - Martin Lipschultz: Differential Geometry, Schaum's outlines Durante l'insegnamento saranno caricati sul portale della didattica le note delle lezioni
- Martin Lipschultz, Differential Geometry, Schaum's outlines During the course the lecture notes will be uploaded on the web-page of the course.
Modalità di esame: Prova scritta (in aula); Prova orale facoltativa;
Exam: Written test; Optional oral exam;
La valutazione è basata su una prova scritta della durata di 1 ora e 45 minuti. La prova scritta è costituita da 6 domande, di cui 3 con un punteggio massimo di 5 punti ciascuna e 3 con un punteggio massimo di 6 punti ciascuna. Il voto finale è dato dalla somma dei punteggi parziali. L'esame è superato se si raggiunge una votazione complessiva maggiore o uguale a 18. Un punteggio maggiore di 31 comporta l’attribuzione della lode. Durante la prova non sarà possibile la consultazione di materiale didattico. Sarà possibile l'uso di una calcolatrice. La prova scritta mira a verificare l'acquisizione delle conoscenze e delle capacità descritte nel campo "Risultati di apprendimento attesi". In particolare mira a verificare: 1) la sicurezza acquisita dallo studente nel padroneggiare la teoria dei campi tensoriali e la sua applicazione; 2) la capacità di calcolare invarianti delle curve e delle superfici di uno spazio euclideo; 3) la capacità di elaborare per iscritto in modo rigoroso, chiaro e logico gli argomenti teorici trattati durante l'insegnamento L'esame orale è a discrezione del docente. L'eventuale esame orale, della durata di 25 minuti circa, non dà punti aggiuntivi al voto della prova scritta e ha la sola finalità di chiarire gli aspetti dell'elaborato che il docente ritiene poco chiari.
Gli studenti e le studentesse con disabilità o con Disturbi Specifici di Apprendimento (DSA), oltre alla segnalazione tramite procedura informatizzata, sono invitati a comunicare anche direttamente al/la docente titolare dell'insegnamento, con un preavviso non inferiore ad una settimana dall'avvio della sessione d'esame, gli strumenti compensativi concordati con l'Unità Special Needs, al fine di permettere al/la docente la declinazione più idonea in riferimento alla specifica tipologia di esame.
Exam: Written test; Optional oral exam;
In addition to the message sent by the online system, students with disabilities or Specific Learning Disorders (SLD) are invited to directly inform the professor in charge of the course about the special arrangements for the exam that have been agreed with the Special Needs Unit. The professor has to be informed at least one week before the beginning of the examination session in order to provide students with the most suitable arrangements for each specific type of exam.
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