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Metodi numerici

01NQWMQ

A.A. 2020/21

Lingua dell'insegnamento

Italiano

Corsi di studio

Corso di Laurea in Matematica Per L'Ingegneria - Torino

Organizzazione dell'insegnamento
Didattica Ore
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Didattica
SSD CFU Attivita' formative Ambiti disciplinari
MAT/08 8 B - Caratterizzanti Formazione modellistico-applicativa
2019/20
Il corso è erogato in lingua italiana. L’insegnamento ha lo scopo di illustrare e analizzare i metodi numerici di base e le loro caratteristiche (condizioni di applicabilità, efficienza sia in termini di complessità computazionale sia di occupazione di memoria) e di far acquisire agli studenti le competenze necessarie per risolvere problemi di calcolo numerico utilizzando o costruendo, in particolare, programmi in ambiente Matlab.
The course is taught in Italian. The main teaching goal is the description and analysis of the basic numerical methods, including their characteristics (applicability conditions, efficiency in terms of computational complexity and storage), and the acquisition of the necessary knowledge for the efficient solution of numerical problems, in particular by means of Matlab computing programs.
Conoscenza dei metodi numerici di base e delle loro proprietà, capacità di costruire e analizzare nuovi metodi numerici e di risolvere problemi scientifici anche con l’uso del software Matlab.
Knowledge of the basic numerical methods, skill to construct and analyse, if needed, new numerical methods and to perform scientific computing using the Matlab software.
Gli argomenti trattati negli insegnamenti di Algebra Lineare e Geometria, di Analisi Matematica I e II e la conoscenza dei principali costrutti di programmazione del software Matlab.
Basic notions of linear algebra, calculus and Matlab programming.
Lezioni in aula (50 ore): 1. Sistemi lineari (9.5 ore) Brevi richiami sui metodi diretti. Metodi iterativi (costruzione e risultati di convergenza): Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, gradiente e gradiente coniugato. Precondizionamento. 2. Approfondimenti sull’approssimazione di funzioni (7.5 ore) Interpolazione polinomiale di funzioni di una sola variabile reale. Rappresentazione di Lagrange, scelta ottimale e quasi ottimale dei nodi e studio della convergenza. Rappresentazione di Newton alle differenze divise. Interpolazione con funzioni polinomiali a tratti: definizione e studio della convergenza. Cenni sull’interpolazione di funzioni di due variabili reali. Derivazione numerica. 3. Equazioni non lineari (6 ore) Radici di equazioni non lineari: metodi delle secanti e delle tangenti, metodo del punto fisso; costruzione e risultati di convergenza. Sistemi di equazioni non lineari: metodo di Newton e sue varianti, metodo del punto fisso. Applicazioni a problemi di ottimizzazione senza vincoli e con vincoli. 4. Calcolo di integrali definiti su intervalli e applicazioni (10 ore) Formule di quadratura di tipo interpolatorio in generale, formule di Newton-Cotes, polinomi ortogonali e formule Gaussiane. Analisi della convergenza. Formule composte: definizione e proprietà di convergenza. Cenni sul calcolo degli integrali curvilinei e multipli. Alcune applicazioni. 5. Equazioni differenziali ordinarie - Problemi a valori iniziali (14 ore) Riduzione del generico problema alla forma canonica. Alcuni risultati teorici di esistenza e unicità delle soluzioni. Metodi one-step espliciti e impliciti in generale: definizione, consistenza e convergenza. Metodi Runge-Kutta. Metodi multistep lineari espliciti e impliciti: definizione, consistenza e convergenza. Metodi di Adams. Stabilità assoluta dei metodi numerici. Sistemi stiff e metodi numerici per la loro risoluzione. Metodo shooting per problemi con valori ai limiti
Lectures (50 hours): 1. Linear systems (9.5 hrs) A brief review of direct methods. Iterative methods (construction and convergence results): Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, gradient and conjugate gradient. Preconditioning. 2. Approximation of functions (7.5 hrs) Polynomial interpolation of functions of a real variable: Lagrange and Newton representations, optimal and quasi optimal choices of the interpolation nodes, convergence analysis. Piecewise polynomial interpolation: definition and convergence analysis. Basics of interpolation of functions of two real variables. Numerical differentiation. 3. Nonlinear equations (6 hrs) Roots of nonlinear equations: secant and tangent methods, fixed-point method; construction and convergence analysis. Nonlinear systems: Newton and quasi-Newton methods, fixed-point method. Applications to unconstraint and constraint optimization problems. 4. Numerical evaluation of integrals defined on intervals (10 hrs) Quadrature formulas of interpolatory type, Newton Cotes formula, orthogonal polynomials and Gaussian rules. Convergence analysis. Composite rules: definition and convergence properties. Basics of line and multiple integral numerical evaluation. Some applications. 5. Initial value ordinary differential equation problems (14 hrs) Reduction of the generic problem to the canonical form. Some theoretical results on the solution existence and uniqueness. Explicit and implicit one-step methods: definition, consistency and convergence properties. Runge-Kutta methods. Explicit and implicit linear multistep methods: definition, consistency and convergence. Adams methods. Absolute stability of a method. Stiff systems and numerical methods for their solution. Shooting method for the solution of boundary value problems.
Le lezioni in aula sopra descritte sono accompagnate da esercitazioni in aula (15 ore) durante le quali vengono sottolineati, con esempi, aspetti particolarmente importanti degli argomenti trattati nelle lezioni, svolti esercizi che contribuiscono ad una miglior comprensione della teoria e costruiti algoritmi di calcolo. Sono inoltre previste ulteriori 15 ore di esercitazioni nel laboratorio informatico, per la verifica sperimentale delle proprietà dei metodi numerici esaminati, per l’implementazione degli algoritmi numerici costruiti nelle esercitazioni in aula, e per il contemporaneo addestramento degli studenti all’utilizzo del software Matlab nell’ambito della simulazione numerica.
The above lectures are integrated by 15 hours of exercise sessions. The role of this activity is to underline important aspects of the topics and results presented in the lecture sessions, by means of examples and the solution of some significant exercises. Numerical algorithms are also constructed. An additional computer lab activity (15 hours) is also scheduled, to improve the students ability to use the Matlab software, and, more importantly, to numerically verify the correctness of the method properties presented during the lectures and that of the algorithms constructed in the exercise sessions.
G. Monegato, Metodi e algoritmi per il Calcolo Numerico, CLUT, Torino, 2008. L. Scuderi, Laboratorio di calcolo numerico, CLUT, Torino, 2005.
G. Monegato, Metodi e algoritmi per il Calcolo Numerico, CLUT, Torino, 2008. L. Scuderi, Laboratorio di calcolo numerico, CLUT, Torino, 2005.
Modalità di esame: test informatizzato in laboratorio; prova scritta;
Al termine delle esercitazioni in laboratorio, e solo in questa occasione, gli studenti sono chiamati a dimostrare di saper risolvere, utilizzando il software Matlab, un problema che viene loro assegnato. A questa prova, della durata di un’ora e 20 minuti, sono attribuiti massimo 2 punti. Il punteggio acquisito viene mantenuto valido per le tre sessioni d’esame previste per l’anno accademico in corso. Durante la prova è posssibile consultare solo gli appunti cartacei delle esercitazioni. Successivamente, negli appelli in calendario, gli studenti dovranno completare l’esame sostenendo una prova scritta in aula, della durata di 2 ore e 30 minuti, riguardante l'intero programma. Tale prova è composta da 7-8 domande, a ciascuna delle quali vengono assegnati 3 o 4 punti, alcune di carattere teorico e altre di tipo applicativo. Il punteggio massimo attribuibile a questa prova è 28. Durante la prova scritta non è consentito consultare testi o appunti e utilizzare strumenti elettronici.
Exam: computer lab-based test; written test;
At the end of the computer lab activities, and only on this occasion, students are asked to show that they have acquired the ability to solve, using the Matlab software, a given problem. This test lasts 1h 20m and it is worth up to 2 points. The grade one obtains will remain valid for the three exam sessions of the current academic year. During the test, students are only allowed to consult their Lab session notes. Then, in the exam sessions, students must take a written test, which lasts 2h 30m, concerning the entire course programme. This test consists of 7-8 questions, each one worth 3 or 4 points, some of theoretical nature and others of applied type. The maximum number of points assigned to this written test is 28. During this latter examination it is forbidden to consult notes or books and to use electronic devices.


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