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Metodi numerici

01NQWMQ

A.A. 2021/22

Lingua dell'insegnamento

Italiano

Corsi di studio

Corso di Laurea in Matematica Per L'Ingegneria - Torino

Organizzazione dell'insegnamento
Didattica Ore
Docenti
Docente Qualifica Settore h.Lez h.Es h.Lab h.Tut Anni incarico
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Didattica
SSD CFU Attivita' formative Ambiti disciplinari
MAT/08 8 B - Caratterizzanti Formazione modellistico-applicativa
2020/21
L’insegnamento è erogato in lingua italiana e ha lo scopo di illustrare e analizzare i metodi numerici di base e le loro caratteristiche (condizioni di applicabilità, efficienza sia in termini di complessità computazionale sia di occupazione di memoria) e di far acquisire agli studenti le competenze necessarie per risolvere problemi di calcolo numerico utilizzando o costruendo, in particolare, programmi in ambiente Matlab.
The course is taught in Italian. The main teaching goal is the description and analysis of the basic numerical methods, including their characteristics (applicability conditions, efficiency in terms of computational complexity and storage), and the acquisition of the necessary knowledge for the efficient solution of numerical problems, in particular by means of Matlab computing programs.
Conoscenza dei metodi numerici di base e delle loro proprietà, capacità di costruire e analizzare nuovi metodi numerici e di risolvere problemi scientifici anche con l’uso del software Matlab.
Knowledge of the basic numerical methods, skill to construct and analyse, if needed, new numerical methods and to perform scientific computing using the Matlab software.
Gli argomenti trattati negli insegnamenti di Algebra Lineare e Geometria, di Analisi Matematica I e II e la conoscenza dei principali costrutti di programmazione del software Matlab.
Basic notions of linear algebra, calculus and Matlab programming.
Lezioni in aula (50 ore): 1. Sistemi lineari (9.5 ore): Brevi richiami sui metodi diretti. Metodi iterativi (costruzione e risultati di convergenza): Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, gradiente e gradiente coniugato. Precondizionamento. 2. Approfondimenti sull’approssimazione di funzioni (7.5 ore): Interpolazione polinomiale di funzioni di una sola variabile reale. Rappresentazione di Lagrange, scelta ottimale e quasi ottimale dei nodi e studio della convergenza. Rappresentazione di Newton alle differenze divise. Interpolazione con funzioni polinomiali a tratti: definizione e studio della convergenza. Cenni sull’interpolazione di funzioni di due variabili reali. Derivazione numerica. 3. Equazioni non lineari (6 ore): Radici di equazioni non lineari: metodi delle secanti e delle tangenti, metodo del punto fisso; costruzione e risultati di convergenza. Sistemi di equazioni non lineari: metodo di Newton e sue varianti, metodo del punto fisso. Applicazioni a problemi di ottimizzazione senza vincoli e con vincoli. 4. Calcolo di integrali definiti su intervalli e applicazioni (10 ore): Formule di quadratura di tipo interpolatorio in generale, formule di Newton-Cotes, polinomi ortogonali e formule Gaussiane. Analisi della convergenza. Formule composte: definizione e proprietà di convergenza. Cenni sul calcolo degli integrali curvilinei e multipli. Alcune applicazioni. 5. Equazioni differenziali ordinarie - Problemi a valori iniziali (14 ore): Riduzione del generico problema alla forma canonica. Alcuni risultati teorici di esistenza e unicità delle soluzioni. Metodi one-step espliciti e impliciti in generale: definizione, consistenza e convergenza. Metodi Runge-Kutta. Metodi multistep lineari espliciti e impliciti: definizione, consistenza e convergenza. Metodi di Adams. Stabilità assoluta dei metodi numerici. Sistemi stiff e metodi numerici per la loro risoluzione. Metodo shooting per problemi con valori ai limiti.
Lectures (50 hours): 1. Linear systems (9.5 hrs): A brief review of direct methods. Iterative methods (construction and convergence results): Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, gradient and conjugate gradient. Preconditioning. 2. Approximation of functions (7.5 hrs): Polynomial interpolation of functions of a real variable: Lagrange and Newton representations, optimal and quasi optimal choices of the interpolation nodes, convergence analysis. Piecewise polynomial interpolation: definition and convergence analysis. Basics of interpolation of functions of two real variables. Numerical differentiation. 3. Nonlinear equations (6 hrs): Roots of nonlinear equations: secant and tangent methods, fixed-point method; construction and convergence analysis. Nonlinear systems: Newton and quasi-Newton methods, fixed-point method. Applications to unconstraint and constraint optimization problems. 4. Numerical evaluation of integrals defined on intervals (10 hrs): Quadrature formulas of interpolatory type, Newton Cotes formula, orthogonal polynomials and Gaussian rules. Convergence analysis. Composite rules: definition and convergence properties. Basics of line and multiple integral numerical evaluation. Some applications. 5. Initial value ordinary differential equation problems (14 hrs): Reduction of the generic problem to the canonical form. Some theoretical results on the solution existence and uniqueness. Explicit and implicit one-step methods: definition, consistency and convergence properties. Runge-Kutta methods. Explicit and implicit linear multistep methods: definition, consistency and convergence. Adams methods. Absolute stability of a method. Stiff systems and numerical methods for their solution. Shooting method for the solution of boundary value problems.
Le lezioni in aula sopra descritte sono accompagnate da esercitazioni in aula (15 ore) durante le quali vengono sottolineati, con esempi, aspetti particolarmente importanti degli argomenti trattati nelle lezioni, svolti esercizi che contribuiscono ad una miglior comprensione della teoria e costruiti algoritmi di calcolo. Sono inoltre previste ulteriori 15 ore di esercitazioni nel laboratorio informatico, per la verifica sperimentale delle proprietà dei metodi numerici esaminati, per l’implementazione degli algoritmi numerici costruiti nelle esercitazioni in aula, e per il contemporaneo addestramento degli studenti all’utilizzo del software Matlab nell’ambito della simulazione numerica.
The above lectures are integrated by 15 hours of exercise sessions. The role of this activity is to underline important aspects of the topics and results presented in the lecture sessions, by means of examples and the solution of some significant exercises. Numerical algorithms are also constructed. An additional computer lab activity (15 hours) is also scheduled, to improve the students ability to use the Matlab software, and, more importantly, to numerically verify the correctness of the method properties presented during the lectures and that of the algorithms constructed in the exercise sessions.
G. Monegato, Metodi e algoritmi per il Calcolo Numerico, CLUT, Torino, 2008. L. Scuderi, Laboratorio di calcolo numerico, CLUT, Torino, 2005.
G. Monegato, Metodi e algoritmi per il Calcolo Numerico, CLUT, Torino, 2008. L. Scuderi, Laboratorio di calcolo numerico, CLUT, Torino, 2005.
Modalità di esame: Prova scritta a risposta aperta o chiusa tramite PC con l'utilizzo della piattaforma di ateneo Exam integrata con strumenti di proctoring (Respondus); Prova scritta tramite l'utilizzo di vLAIB e piattaforma di ateneo Exam integrata con strumenti di proctoring (Respondus). ;
L’esame di Metodi Numerici consta di una prova Matlab in laboratorio informatico della durata di 40 minuti, cui verranno assegnati sino a 4 punti, e di una successiva prova scritta in aula, della durata di 1 ora e 40 minuti, composta da cinque domande di tipo aperto, una per ciascuno dei 5 capitoli in cui è stato suddiviso il programma dell’insegnamento. A due domande verranno assegnati fino a 4 punti ciascuna, mentre alle altre 3, di difficoltà superiore, verranno assegnati sino a 6 punti ciascuna. I punteggi attribuiti alle singole domande saranno riportati nel testo d’esame. Le domande includono definizioni, costruzione, proprietà e applicazione dei singoli metodi numerici, nonché dimostrazioni di risultati teorici. Durante le prove Matlab e scritta non è consentito utilizzare appunti, testi e strumenti elettronici, ad eccezione del PC in uso per la prova.
Exam: Computer-based written test with open-ended questions or multiple-choice questions using the Exam platform and proctoring tools (Respondus); Written test via vLAIB using the Exam platform and proctoring tools (Respondus).;
The course exam consists of a Matlab test, to be taken in a computer lab, and of a following written test in a classroom. The first lasts 40 minutes and it is worth up to 4 points, while the second test lasts 1 hour and 40 minutes. This includes 5 questions, one for each of the program chapters reported above. Two questions are worth up to 4 points, while to the remaining 3 questions, having a higher difficulty, up to 6 points each are assigned. The number of points assigned to each questions are explicitly reported in the exam text. Questions include definitions, construction and applications of numerical methods, as well as proofs of theoretical results. During the Matlab and written tests it is forbidden to use notes, books and electronic devices, except for the PC needed to carry out the test.
Modalità di esame: Prova scritta (in aula); Prova scritta a risposta aperta o chiusa tramite PC con l'utilizzo della piattaforma di ateneo Exam integrata con strumenti di proctoring (Respondus); Prova scritta tramite l'utilizzo di vLAIB e piattaforma di ateneo Exam integrata con strumenti di proctoring (Respondus). ;
L’esame di Metodi Numerici consta di una prova Matlab in laboratorio informatico della durata di 40 minuti, cui verranno assegnati sino a 4 punti, e di una successiva prova scritta in aula, della durata di 1 ora e 40 minuti, composta da cinque domande di tipo aperto, una per ciascuno dei 5 capitoli in cui è stato suddiviso il programma dell’insegnamento. A due domande verranno assegnati fino a 4 punti ciascuna, mentre alle altre 3, di difficoltà superiore, verranno assegnati sino a 6 punti ciascuna. I punteggi attribuiti alle singole domande saranno riportati nel testo d’esame. Le domande includono definizioni, costruzione, proprietà e applicazione dei singoli metodi numerici, nonché dimostrazioni di risultati teorici. Durante le prove Matlab e scritta non è consentito utilizzare appunti, testi e strumenti elettronici, ad eccezione del PC in uso per la prova.
Exam: Written test; Computer-based written test with open-ended questions or multiple-choice questions using the Exam platform and proctoring tools (Respondus); Written test via vLAIB using the Exam platform and proctoring tools (Respondus).;
The course exam consists of a Matlab test, to be taken in a computer lab, and of a following written test in a classroom. The first lasts 40 minutes and it is worth up to 4 points, while the second test lasts 1 hour and 40 minutes. This includes 5 questions, one for each of the program chapters reported above. Two questions are worth up to 4 points, while to the remaining 3 questions, having a higher difficulty, up to 6 points each are assigned. The number of points assigned to each questions are explicitly reported in the exam text. Questions include definitions, construction and applications of numerical methods, as well as proofs of theoretical results. During the Matlab and written tests it is forbidden to use notes, books and electronic devices, except for the PC needed to carry out the test.


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