PORTALE DELLA DIDATTICA

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Modelli e Metodi della Fisica Matematica per l'Ingegneria

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A.A. 2026/27

Lingua dell'insegnamento

Italiano

Corsi di studio

Corso di Laurea in Matematica Per L'Ingegneria - Torino
Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (Mechanical Engineering) - Torino
Corso di Laurea in Ingegneria Dell'Autoveicolo (Automotive Engineering) - Torino
Corso di Laurea in Ingegneria Informatica (Computer Engineering) - Torino
Corso di Laurea in Ingegneria Dell'Autoveicolo - Torino
Corso di Laurea in Electronic And Communications Engineering (Ingegneria Elettronica E Delle Comunicazioni) - Torino
Corso di Laurea in Ingegneria Dei Materiali - Torino
Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica - Torino
Corso di Laurea in Ingegneria Aerospaziale - Torino
Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica - Torino
Corso di Laurea in Ingegneria Chimica E Alimentare - Torino
Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Torino
Corso di Laurea in Ingegneria Edile - Torino
Corso di Laurea in Ingegneria Energetica - Torino
Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica - Torino
Corso di Laurea in Ingegneria Per L'Ambiente E Il Territorio - Torino
Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica - Torino
Corso di Laurea in Ingegneria Informatica - Torino
Corso di Laurea in Ingegneria Fisica - Torino
Corso di Laurea in Ingegneria Del Cinema E Dei Mezzi Di Comunicazione - Torino
Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale - Torino
Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale - Torino
Corso di Laurea in Civil And Environmental Engineering - Torino

Organizzazione dell'insegnamento
Didattica Ore
Docenti
Docente Qualifica Settore h.Lez h.Es h.Lab h.Tut Anni incarico
Collaboratori
Espandi

Didattica
SSD CFU Attivita' formative Ambiti disciplinari
MAT/07 6 D - A scelta dello studente A scelta dello studente
2024/25
L'obiettivo dell’insegnamento è fornire competenze per la costruzione e l'analisi di modelli matematici differenziali. Tali modelli sono sviluppati in termini di equazioni alle derivate ordinarie e parziali, per descrivere sistemi dinamici, fenomeni di trasporto, diffusivi, ed ondulatori. I metodi della Fisica Matematica permettono di derivare soluzioni e analizzare qualitativamente i modelli, evidenziandone proprietà e comportamenti emergenti utili alla comprensione dei fenomeni fisici descritti. Nell’insegnamento, anche in funzione degli interessi degli studenti iscritti, si svilupperanno e analizzeranno modelli di interesse in vari campi dell’ingegneria, quali ad esempio: aerospaziale (instabilità di fluttering, convezione atmosferica, onde d'urto), ambientale (diffusione di un inquinante), biomedica (dinamica delle popolazioni, modelli epidemiologici, di battito cardiaco e di attivazione di segnali neuronali), civile (traffico veicolare, vibrazione della trave, conduzione del calore), informatica ed elettronica (sistemi dinamici di circuiti elettrici, propagazione di un segnale ed equazioni di trasporto, linee di trasmissione ed equazione dei telegrafisti), fisica (modelli per sistemi complessi), gestionale (teoria dei giochi e strategie ottimali), meccanica (pendolo semplice, centrifugo e inverso, orologio meccanico). L’insegnamento è un raccordo naturale tra i corsi di matematica di base e i corsi applicativi con fondamento matematico delle lauree specialistiche.
The course aims to provide skills for the construction and analysis of differential mathematical models. Models are developed in terms of ordinary and partial differential equations to describe dynamic systems, transport phenomena, diffusion, and wave phenomena. The methods of Mathematical Physics allow to derive solutions and qualitatively analyze the models, highlighting properties and emerging behaviors useful for understanding the described physical phenomena. In the course, also based on the interests of enrolled students, models will be developed and analyzed in various engineering fields, such as: aerospace (flutter instability, atmospheric convection, shock waves), environmental (pollutant diffusion), biomedical (population dynamics, epidemiological models, heartbeat and neuronal signaling activation), civil (traffic flow, beam vibration, heat conduction), computer science and electronics (dynamic systems of electrical circuits, signal propagation and transport equations, transmission lines and telegrapher's equation), physics (models for complex systems), management (game theory and optimal strategies), mechanical (simple, centrifugal and inverse pendulum, mechanical clock). The course is a natural connection between the basic courses of mathematics and the applied courses of a master’s degree with a mathematical foundation.
Lo studente dovrà aver compreso gli argomenti trattati ed essere in grado di analizzare qualitativamente modelli differenziali. In generale, dovrà - avere acquisito una conoscenza dei alcuni dei fondamenti scientifici e metodologici della fisica matematica. - sviluppare la capacità di applicare gli strumenti forniti per risolvere problemi teorici e applicativi, nonché l'abilità di calcolo. - sviluppare autonomia di giudizio e capacità di riconoscere ed utilizzare gli strumenti matematici più adeguati e la loro applicazione alle discipline ingegneristiche.
The student will learn deal with differential mathematical models and to qualitatively solve the related mathematical problems.
Analisi I e II.
Knowledge of the mathematical methodology obtained with courses of Calculus.
Modelli matematici alle derivate ordinarie. (30 ore) - Introduzione alla modellistica matematica. - Problemi differenziali lineari e metodi risolutivi. Applicazioni quali ad esempio caduta grave in presenza di viscosità e velocità limite, modelli di dinamica delle popolazioni (modello di Malthus e logistico), circuiti elettrici. - Metodi perturbativi per equazioni differenziali. Perturbazioni regolari e perturbazioni singolari. Metodo di Poincarè e di Lindstedt-Poincarè. Applicazioni ed equazione di Duffing. - Sistemi dinamici non lineari. Configurazioni di equilibrio. Stabilità lineare. Sistemi conservativi e tecniche di stabilità nonlineare. - Punti e diagrammi di biforcazione. Classificazione delle biforcazioni, attrattori, cicli limite e teorema di Hopf. - Modelli a tempo discreto (cenni): mappe iterate, metodo della ragnatela e cascata di biforcazioni. - Applicazioni quali ad esempio pendolo, pendolo centrifugo e pendolo inverso (di Kapitza), orologio meccanico, instabilità di fluttering, line galopping, circuiti elettrici RCL, oscillatore di Van der Pol, modello di attivazione di segnali neuronali (equazioni di FitzHugh-Nagumo), modello di battito cardiaco, modelli di dinamica delle popolazioni (modello di Lotka-Volterra), modelli epidemiologici (SIR e applicazioni COVID), modelli di reazioni chimiche (Brusselator), modello di Lorentz per la convezione atmosferica e cenni di moti caotici. Modelli matematici alle derivate parziali (30 ore). - Classificazione dei modelli matematici alle derivate parziali: equazioni paraboliche, ellittiche ed iperboliche. - Leggi di bilancio e di conservazione. - Equazione di diffusione, derivazione e proprietà della soluzione. Problemi al valore iniziale e al contorno. Metodi risolutivi per problemi lineari e metodo di separazione delle variabili. Esempi e applicazioni (e.g. diffusione inquinante, conduzione del calore). Cenni di equazioni di reazione-diffusione (equazione di Fisher KPP). Derivazione microscopica di modelli diffusivi (cenni). - Problema stazionario. Configurazioni asintotiche e profili stazionari di fenomeni diffusivi. Equazione di Laplace e equazioni ellittiche (profilo membrana o tamburo, flusso attorno ad un cilindro circolare) (cenni). - Equazione del trasporto lineari, formulazione del problema matematico e proprietà. Metodi risolutivi e metodo delle linee caratteristiche. - Equazioni di trasporto nonlineari, onde d’urto e di rarefazione. Esempi ed applicazioni (traffico veicolare). Equazioni di convezione-diffusione (cenni). - Equazione delle onde. Formulazione del problema matematico e proprietà. Soluzione di d’Alambert. Esempi ed applicazioni in domini limitati (corda vibrante e frequenza fondamentale, vibrazione trave, ed equazione dei telegrafisti).
Mathematical modeling, representation scales, classification and examples. Mathematical models defined in term of the ordinary differential equations. Solution methods for linear problems. Laplace transform and applications to equations and systems of linear differential equations of second order with constant coefficients. Nonlinear systems. Phase space. Equilibrium configurations. Stability. Linear stability criterion. Nonlinear stability and Lyapunov functional. Bifurcation diagrams. Fork bifurcation, supercritical and subcritical bifurcation. Examples and applications (Malthus and logistic for population dynamics, electric circuits RCL and Van der Pol equation) Classification of mathematical models defined in terms of partial differential equations. Diffusion equation, derivation and properties of the solution. Initial value problems and boundary value problems. Solution methods for linear problems and method of separation of variables. Examples and applications (polluting diffusion, heat conduction). Reaction-diffusion equations. Stationary problem. Laplace equation and elliptic equations (drum, potential). Transport equation and conservation laws. Initial and boundary values problems for linear hyperbolic equations of the first order. Method of characteristics and properties of the solution. Nonlinear transport equations of the first order. Examples and applications (vehicular traffic, signal transport). Convection-diffusion equations. Wave equation. Initial and boundary values problems for hyperbolic equations of second order. Properties of the solution. Fundamental solution of d'Alembert. Examples and applications in bounded domains (vibrating string and beam).
L'insegnamento consiste di 40 ore di lezione e 20 di esercitazione. Le lezioni sono dedicate alla presentazione degli argomenti del programma del corso e per fornire gli strumenti necessari per sviluppare capacità di ragionamento logico-deduttivo da parte dello studente. Ogni argomento teorico trattato nelle lezioni viene arricchito da esempi introduttivi. Le ore di esercitazione sono dedicate allo svolgimento di esercizi, problemi applicativi e temi d’esame. L'insegnamento si tiene in modalità mista e le lezioni erogate in aula sono anche trasmesse in diretta streaming sulla virtual classroom. A termine di ciascuna lezione, gli appunti proiettati e le registrazioni sono resi disponibili sul portale della didattica.
Exercises in classroom will be carried out on these arguments: Laplace transform and solution of linear differential equations Stability and bifurcation of dynamical systems Separation of variables for hyperbolic and parabolic equations Method of characteristics for transport equations Solution of stationary problems
Appunti delle lezioni caricati progressivamente sul portale della didattica. Ulteriori approfondimenti facoltativi: D. Bazzanella, P. Boieri, L. Caire, A. Tabacco, Serie di funzioni e trasformate - teoria ed esercizi, CLUT, 2001 S. Salsa, C. Pagani, Analisi matematica 2, Zanichelli G. Verzini, S. Terracini, D. Ferrario, M. Conti, V. Barutello, Analisi matematica 2, Apogeo. S. J. Farlow, Partial Differential Equations for Scientists and Engineers, Dover (New York). S. Salsa, F. Vegni, A. Zaretti, P. Zunino, Invito alle Equazioni a Derivate Parziali, Springer Italia, 2009. G. Benettin "Appunti per il corso di Fisica Matematica", https://www.math.unipd.it/~benettin/links-mecc/dispense.pdf
Notes of lectures in Italian are available on the teaching portal . Further reading: D. Bazzanella, P. Boieri, L. Caire, A. Tabacco, Serie di funzioni e trasformate - teoria ed esercizi, CLUT, 2001 S. Salsa, C. Pagani, Analisi matematica 2, Zanichelli S. J. Farlow, Partial Differential Equations for Scientists and Engineers, Dover (New York). S. Salsa, F. Vegni, A. Zaretti, P. Zunino, Invito alle Equazioni a Derivate Parziali, Springer Italia, 2009.
Slides; Esercizi; Video lezioni dell’anno corrente;
Lecture slides; Exercises; Video lectures (current year);
E' possibile sostenere l’esame in anticipo rispetto all’acquisizione della frequenza
You can take this exam before attending the course
Modalità di esame: Prova scritta (in aula); Prova orale facoltativa;
Exam: Written test; Optional oral exam;
... L'obiettivo dell'esame è valutare il livello di conoscenza e comprensione degli argomenti trattati nell’insegnamento, e verificare le competenze previste di cui sopra (vedi Risultati dell'apprendimento attesi). L'esame consiste in una prova scritta, composta da 4 esercizi a risposta aperta, finalizzati a verificare la capacità di applicare i metodi e le tecniche apprese per l'analisi qualitativa e la risoluzione di problemi e modelli differenziali, e di un quesito teorico-concettuale (senza dimostrazioni). Il tempo massimo a disposizione è di 120 minuti. Durante lo svolgimento dell'esame non è consentito l'uso di calcolatrici o formulari. Il punteggio massimo ottenibile con l’esame scritto è 30 e Lode. I risultati saranno comunicati attraverso il Portale della Didattica. Qualora lo studente abbia superato lo scritto con un punteggio non inferiore a 18, può facoltativamente richiedere una prova orale aggiuntiva che verterà su argomenti teorici.
Gli studenti e le studentesse con disabilità o con Disturbi Specifici di Apprendimento (DSA), oltre alla segnalazione tramite procedura informatizzata, sono invitati a comunicare anche direttamente al/la docente titolare dell'insegnamento, con un preavviso non inferiore ad una settimana dall'avvio della sessione d'esame, gli strumenti compensativi concordati con l'Unità Special Needs, al fine di permettere al/la docente la declinazione più idonea in riferimento alla specifica tipologia di esame.
Exam: Written test; Optional oral exam;
The exam consists of a written test. If the student has passed the written with a minimum score of 18, he/she can sustain the oral exam to try to improve the final score of the exam. The written examination consists in solving different exercises, with open answer, to test the ability to apply methods and techniques learned for the qualitative analysis and resolution of problems and differential models. Examples of recurring types of exercises: - Solve, by applying the Laplace transform, the following differential problem. - Given the following dynamic system, determine the equilibrium configurations and their stability. - Solve by the method of characteristics, the following first order PDE transport. - Apply the separation of variables to find the solution of the following PDE. - Determine the stationary solution of the following mathematical problem. The exercises also include a theoretical-conceptual question (without proofs), examples of possible questions are given below. The maximum time available is 120 minutes. The maximal score of the written examination is 30. During the examination it is allowed to keep only a form on Laplace transform available on the teaching portal. The oral examination consists of two or three questions that include discussion of the written exam and in particular the non-performed or performed incorrectly exercises and some questions about the course program. The oral examination may increase or decrease the score of the written examination of 5 points (maximum). Examples of possible questions (theoretical-conceptual and oral): - Laplace transform and applications. - Dynamical systems: equilibria and linear stability criterion. - Stability of nonlinear dynamic systems. - Bifurcations in dynamical systems. - Classification of mathematical models of partial derivatives. - Mathematical formulation of the mathematical problem. - Diffusion equation and properties of solutions. - Stationary solutions of diffusion equations and elliptic equations. - Separation of variables and applications. - Conservation laws. - Method of characteristics. - Equations of transport and properties of solutions. - Wave equation and properties of solutions.
In addition to the message sent by the online system, students with disabilities or Specific Learning Disorders (SLD) are invited to directly inform the professor in charge of the course about the special arrangements for the exam that have been agreed with the Special Needs Unit. The professor has to be informed at least one week before the beginning of the examination session in order to provide students with the most suitable arrangements for each specific type of exam.
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