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PORTALE DELLA DIDATTICA

Istituzioni di Algebra e Geometria

01PPWMQ

A.A. 2019/20

Lingua dell'insegnamento

Italiano

Corsi di studio

Corso di Laurea in Matematica Per L'Ingegneria - Torino

Organizzazione dell'insegnamento
Didattica Ore
Lezioni 60
Esercitazioni in aula 40
Docenti
Docente Qualifica Settore h.Lez h.Es h.Lab h.Tut Anni incarico
Malaspina Francesco   Professore Associato MAT/03 30 20 0 0 1
Collaboratori
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Didattica
SSD CFU Attivita' formative Ambiti disciplinari
MAT/02
MAT/03
5
5
A - Di base
A - Di base
Formazione matematica di base
Formazione matematica di base
2018/19
L’ obiettivo principale dell'insegnamento Istituzioni di Algebra e Geometria è di completare la formazione di base dello studente con riferimento sia ai contenuti dei corsi di Analisi Matematica che di Geometria. Vengono infatti presentati elementi di algebra e topologia, preceduti da una introduzione riguardante i fondamenti della matematica.
The main goal of the course is to integrate basic notions acquired by the student in their first years, especially in the courses Analisi Matematica and Geometria. Elements of algebra and topology will be introduced, right after an introduction regarding the principles of mathematics.
- Apprendimento del linguaggio di base e delle tecniche di ragionamento propri di questi settori della matematica. - Applicazione delle conoscenze acquisite alla formalizzare semplici problemi algebrici e topologici. - Acquisizione delle capacità di risolvere semplici problemi relativi agli argomenti trattati. - Conoscenza della terminologia e dei risultati di base necessari per affrontare la consultazione di testi di algebra e topologia.
- Basic language and main tools and techniques of the branches of mathematics described above. - Ability to apply the concepts you learned in order to formalize simple algebraic and topological problems. - Ability to apply the concepts learned in order to solve simple algebraic and topological problems - Knowledge and understanding of the basic language, notations, and main results that allow one to be able to read and understand algebra and topology textbooks.
L'insegnamento presuppone che gli studenti conoscano gli argomenti trattati nei corsi di Analisi Matematica I e di Algebra Lineare e Geometria.
A working knowledge of the mathematical tools presented in the courses Analisi Matematica I and Algebra Lineare e Geometria is required.
ALGEBRA (5cfu) Corrispondenze e funzioni. Relazioni d’equivalenza e d’ordine. Assioma della scelta e lemma di Zorn. Numerabilita’ di un insieme: cenni sulla cardinalità. Principio di induzione forte e debole. Numeri interi, classi di resto, numeri primi, fattorialità, algoritmo euclideo. Gruppi, sottogruppi e sottogruppi normali: esempi (gruppi abeliani finiti, gruppi di matrici, gruppo diedrale, gruppo simmetrico). Omomorfismi di gruppi. Anelli, sottoanelli e ideali: esempi (numeri interi, anello dei polinomi, anello delle matrici quadrate). Omomorfismi di anelli. Campi e corpi: esempi (Q, R, C, H, O, campo delle funzioni razionali). Campi finiti e infiniti, estensioni algebriche e trascendenti. Cenni di crittografia. TOPOLOGIA (5cfu) Insiemi. Cardinalità. Spazi metrici e loro proprietà. Funzioni continue e isometrie. Spazi topologici. Intorni e insiemi chiusi. Spazi di Hausdorff. Topologia indotta. Topologia associata a una metrica. Base di una topologia e basi di intorni. Parte interna, chiusura, derivato e frontiera di un insieme. Insiemi densi. Limiti e chiusura negli spazi metrici. Funzioni continue, funzioni aperte e chiuse, omeomorfismi. Proprietà di separazione. Topologia prodotto. Connessione. Componenti connesse. Prodotto di spazi connessi. Connessione per archi. Compattezza. Prodotto di spazi compatti. Teorema di Heine-Borel e compattezza per successioni. Successioni di Cauchy in spazi metrici, spazi metrici completi e completezza di R e di R^n Topologia quoziente. Spazi proiettivi. Varietà topologiche e superfici.
ALGEBRA (5 cfu) Correspondences and functions. Equivalence relations and partial orders. Axiom of choice and Zorn's lemma. Countability of a set: some notions on cardinality. Induction principle, weak and strong version. Integer numbers, congruence classes, prime numbers, factorial, euclidean algorithm. Groups, subgroups, normal subgroups: examples (finite abelian groups, matrix groups, dihedral group, symmetric group).Group homomorphisms. Rings, subrings, ideals: examples (integer numbers, ring of polynomials, ring of square matrices). Ring homomorphisms. Fields and division rings: examples (Q, R, C, H, O, field of rational functions). Finite and infinite fields, algebraic and transcendental extensions. Some ideas of cryptography. TOPOLOGY (5 cfu) Sets. Cardinality. Metric spaces and their properties. Continuous functions and isometries. Topological spaces. Neighborhoods and closed sets. Hausdorff spaces. Induced topology. Topology associated to a metric function. Topology bases and neighborhood bases. Interior of a set, closure, derived set and boundary set. Dense sets. Limits and closure in metric spaces. Continuous function, open and closed functions, homeomorphisms. Separation properties. Product topology. Connectedness, connected components. Product of connected spaces. Path-connection. Compactness. Product of compact spaces. Heine-Borel theorem and sequential compactness. Cauchy sequences in metric spaces, complete metric spaces and completeness of R and R^n. Quotient topology. Projective spaces. Topological manifolds and surfaces.
L'insegnamento consta di lezioni ed esercitazioni in aula.
Lectures and exercise sessions will be carried out by the teacher.
A. Conte, L. Picco Botta, D. Romagnoli, Algebra, Levrotto e Bella. M. Artin, Algebra, Bollati Boringhieri. P. Shick, Topology, Wiley. C.Kosniowski, Introduzione alla topologia algebrica, Zanichelli. V. Checcucci - A.Tognoli - E. Vesentini, Lezioni di topologia generale, Feltrinelli. S. Lipschutz, Topologia: teoria e problemi di... Collana Schaum 39. ETAS B. Mendelson, Introduction to topology, Dover. T. Gamelin, Introduction to topology, Dover
A. Conte, L. Picco Botta, D. Romagnoli, Algebra, Levrotto e Bella. M. Artin, Algebra, Bollati Boringhieri. P. Shick Topology, Wiley. C.Kosniowski, Introduzione alla topologia algebrica, Zanichelli. V. Checcucci - A.Tognoli - E. Vesentini, Lezioni di topologia generale, Feltrinelli. S. Lipschutz, Topologia: teoria e problemi di... Collana Schaum 39. ETAS B. Mendelson, Introduction to topology, Dover. T. Gamelin, Introduction to topology, Dover
Modalità di esame: prova scritta; prova orale obbligatoria;
L’esame è volto ad accertare la conoscenza degli argomenti sopra elencati, nonché la capacità di applicare la teoria ed i suoi metodi alla soluzione di esercizi e alla dimostrazione di semplici enunciati. L’esame è costituito da un orale obbligatorio, cui si accede superando una prova scritta. SCRITTO Durante lo scritto non si possono portare in aula libri di alcun tipo, appunti del corso, strumenti di calcolo e comunicazione. L’esame scritto è articolato in due parti, una di algebra e una di topologia, ciascuna della durata di 60 minuti. Per ciascuna parte si richiede di affrontare e risolvere degli esercizi (di norma 2 o 3), ciascuno strutturato in vari punti. Lo scritto si intende superato qualora si abbia conseguito un punteggio di almeno 15/30 in ciascuna delle due parti di cui esso si compone. ORALE L'orale dell’esame deve essere sostenuta nell’appello in cui si è superato lo scritto. L’esame orale è anch’esso articolato in due parti, una di algebra e una di topologia. Esso è rivolto ad accertare una adeguata conoscenza della teoria discussa nel corso e include la discussione della corrispondente parte dello scritto. A conclusione dell’orale, per ciascuna delle parti di cui esso si compone, verrà assegnato un punteggio compreso fra -15/30 e 15/30. VOTO FINALE Per ciascuna delle due parti di algebra e di topologia verrà assegnato un punteggio dato dalla somma algebrica dei punteggi ottenuti nello scritto e dell’orale di quella parte. L’esame si considera superato qualora si abbia conseguito un punteggio di almeno 18/30 in ciascuna delle due parti. In tal caso il voto finale sarà ottenuto arrotondando per eccesso la media aritmetica dei punteggi ottenuti nelle due parti.
Exam: written test; compulsory oral exam;
The exam will check your knowledge of the course material, and your ability to apply theories and methods to solve problems and prove simple statements. The exam will consist in a compulsory written test, followed by a compulsory oral test. Written test. During the written test you cannot bring any kind of books/notes/lecture notes/computation or communication tools. The written test has two 60 minutes sections, an algebra and a topology one. For each section you will need to solve some exercises (usually 2 or 3), each structured in several parts. You pass the written test if you obtain a score of at least 15/30 on each of the two sections. Oral test. You have to take the oral test in the same exam session as the written test. The oral test has two sections as well, an algebra and a topology one. The oral test is intended to test your knowledge of the theory discussed in the course, and it includes the correction of the written part. For each section of the oral test you obtain a score in the range between -15/30 and 15/30. Final grade For both the algebra and the topology section you obtain a score calculated as the algebraic sum of the scores in the corresponding written and oral test. You pass the exam if you get a grade that is less or equal 18/30 in both the sections. The final grade is the rounded up average of the grades in the two sections of the exam.


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