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PORTALE DELLA DIDATTICA

Differential and Computational Geometry

01PPYMQ

A.A. 2018/19

Course Language

Italian

Course degree

1st degree and Bachelor-level of the Bologna process in Matematica Per L'Ingegneria - Torino

Course structure
Teaching Hours
Lezioni 40
Esercitazioni in aula 20
Teachers
Teacher Status SSD h.Les h.Ex h.Lab h.Tut Years teaching
Manno Giovanni   Professore Associato MAT/03 40 0 0 0 3
Teaching assistant
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Context
SSD CFU Activities Area context
MAT/03 6 A - Di base Formazione matematica di base
2018/19
Il corso completa la formazione di base dello studente con riferimento ai contenuti dei corsi di Analisi Matematica e Geometria. L'obiettivo del corso è di introdurre e sviluppare i concetti fondamentali della Geometria Differenziale di curve e superfici, con particolare attenzione agli aspetti computazionali. L'oggetto geometrico principale trattato nel corso sarà quello di varietà differenziabile (o liscia). Sotto un certo aspetto una tale varietà generalizza il concetto di spazio vettoriale: infatti una varietà differenziabile M è "localmente" interpretabile come R^n, una volta fissata una parametrizzazione (locale) di M, nello stesso modo in cui uno spazio vettoriale n-dimensionale V può essere riguardato come R^n una volta fissata una base di V. Quindi, in un certo senso, una varietà differenziabile è l'analogo "curvo" di uno spazio vettoriale. Molte proprietà e concetti studiati nell'ambito degli spazi vettoriali verrano recuperati studiando lo spazio tangente di una varietà differenziabile, che risulta essere uno spazio vettoriale.
The course completes the basic knowledge of the student acquired through the courses of Mathematical Analysis anf Geometry. The aim of the course is to develop the fundamental concepts of Differential Geometry of curves and surfaces, with particular attention to the related computational aspects. The main geometric object considered in the course is a differentiable manifold (smooth manifold). From a certain viewpoint, such notion generalizes the concept of vector space. In fact, a smooth manifold M can be "locally" interpreted as R^n, once one fixes a local parametrization of M: this is reminiscent of the property that any n-dimensional vector space V can be considered as R^n once one fixes a basis of V. Then, in a certain sense, a smooth manifold is the "curve" analog of a vector space. Many properties and concepts studied in the context of vector spaces can be applied by studying the tangent space of a smooth manifold, that turns out to be a vector space.
- Capacità di formalizzare e risolvere problemi geometrici provenienti dallo studio di curve e superfici. - Applicazione delle conoscenze acquisite mediante l'uso del software Mathematica.
- Skill in handling geometrical problems coming from the study of curves and surfaces - Application of the acquired knowledge by using the software Mathematica
Conoscenza degli argomenti trattati nei corsi di Analisi Matematica I, Algebra Lineare e Geometria, Analisi Matematica II e Istituzioni di Algebra e Geometria.
Knowledge of the topics treated in the courses of Mathematical Analysis I, Linear Algebra and Geometria, Mathematical Analysis II, Advanced Algebra and Geometry
1. Introduzione alle varietà differenziabili come spazi localmente Euclidei. Differenze e analogie con gli spazi vettoriali. Varietà differenziabile come analogo "curvo" di uno spazio vettoriale. 2. Definizione di varietà differenziabile (varietà liscia) tramite parametrizzazioni locali. Funzioni di transizione e atlante differenziabile. Spazio tangente, campi vettoriali e loro curve integrali. Sottovarietà di una varietà differenziabile. 3. Curve di spazi Euclidei come sottovarietà 1-dimensionali. Curve parametrizzate, regolari e bi-regolari: retta tangente e punti di flesso. Parametrizzazione mediante l'ascissa curvilinea. Come risolvere numericamente il problema della parametrizzazione mediante l'ascissa curvilinea. Lunghezza di un arco di curva e curve rettificabili. Come risolvere numericamente il problema della parametrizzazione di una curva piana data in forma implicita. Triedro di Frenet, curvatura e torsione. Teorema di esistenza e unicità delle curve bi-regolari con velocità, curvatura e torsione assegnate. Come determinare numericamente le curve con curvatura e torsione assegnata. 4. Superfici di spazi Euclidei come sottovarietà 2-dimensionali. Superfici parametrizzate, superfici regolari e loro spazio tangente. Superfici definite in forma implicita. Esistenza di parametrizzazioni locali delle superfici definite implicitamente. Genere di uno superficie e cenno sul teorema di classificazione delle superfici chiuse e limitate dello spazio Euclideo. Orientabilità di superfici. Cenni su integrazione su superfici. 5. Derivata covariante, connessione di Levi-Civita e geodetiche. Simboli di Christoffel. Prima e seconda forma fondamentale di una superficie. Curvature principali, curvatura Gaussiana e curvatura media. Teorema Egregio di Gauss. Teorema di Gauss-Bonnet.
1. Introduction to the notion of differentiable manifolds (smooth manifolds) as locally Euclidean spaces. Connection with vector spaces. Smooth manifold as "curve" analog of a vector space 2. Definition of smooth manifolds through local parametrizations. Transition functions and smooth atlas. Tangent space, vector fields and their integral curves. Submanifolds of a smooth manifold. 3. Curves in Euclidean spaces as 1-dimensional submanifolds. Parametrized curves, regular and bi-regular curves: tangent line and inflection points. Parametrization through the arc-length. How to solve numerically the problem of the parameterization by the arc length. Length of curves and rectifiability. How to solve numerically the problem of the parameterization of a plane curve given in implicit form. Frenet trihedron, curvature and torsion. Theorem of existence and uniqueness of bi-regular curves with assigned speed, curvature and torsion. How to determine numerically the curves with given curvature and torsion. 4. Surfaces in Euclidean spaces as 2-dimensional submanifolds. Parametrized surfaces, regular surfaces and their tangent space. Surfaces in implicit form. Existence of local parameterizations of a surface in implicit form. Genus of a surface and a short account on the theorem of classification of closed and bounded surfaces in the Euclidean space. Orientability of surfaces. A short account on the integration on surfaces. 5. Covariant derivative, Levi-Civita connection and geodesics. Christoffel's symbols. First and second fundamental form of a surface. Principal curvatures, Gaussian and mean curvature. Gauss Theorem Egregium. Gauss-Bonnet theorem.
L’insegnamento consta di lezioni ed esercitazioni in aula. Per ogni argomento saranno svolte esercitazioni mirate al calcolo simbolico e/o numerico e alla visualizzazione di esempi e classi rilevanti di curve o superfici. Il software utilizzato è Mathematica.
The course consists of lectures and practical classes. There will be practical classes devoted to the symbolic/numerical calculus. Particolar attention is devoted to visualization. The software that will be used is Mathematica.
- E. Abbena, A. Gray, S. Salamon, Modern Geometry of Curves and Surfaces, Chapman & Hall/CRC - F. Fava, Elementi di Geometria Differenziale, Levrotto e Bella
- E. Abbena, A. Gray, S. Salamon, Modern Geometry of Curves and Surfaces, Chapman & Hall/CRC - F.Fava, Elementi di Geometria Differenziale, Levrotto e Bella
Modalità di esame: Prova scritta (in aula); Prova orale facoltativa; Elaborato scritto prodotto in gruppo;
La valutazione è basata su uno o due progetti da svolgere durante il corso e su una prova scritta della durata di due ore divisa in due parti, ognuna della durata di un’ora. Lo scopo dei progetti è accertare l'abilità nel modellare e risolvere problemi che nascono dalla teoria svolta durante il corso mediante metodi numerici e/o simbolici. La modalità della prova scritta sarà comunicata durante il corso. Il voto finale viene determinato tenendo conto della prova scritta e del rendimento nel/nei progetto/i. I progetti sono complessivamente valutati fino ad un massimo di 6 punti. La prima parte della prova scritta è valutata fino ad un massimo di 12 punti e la seconda fino ad un massimo di 15 punti. Il voto finale è dato dalla somma dei punteggi parziali. La soglia minima per superare l'esame è di 6 punti nella prima parte della prova scritta e di 7,5 punti nella seconda parte della prova scritta. L’esame è superato con una votazione complessiva maggiore o uguale a 18. Un punteggio maggiore o uguale a 31 comporta l’attribuzione della lode. La valutazione degli studenti che non hanno svolto il/i progetto/i verrà effettuata sulla base della prova scritta e di un colloquio orale.
Exam: Written test; Optional oral exam; Group essay;
The evaluation is based on one or two projects to be done during the course and on a written exam divided in two parts. Each part of the written exam lasts one hour. The aim of the projects is to verify the skill in modeling and solving problems coming from the theory developed during the lectures by means of numerical/symbolyc methods. The details of the written exam will be given during the course. The final score will be determined taking into account the written exam and the project(s). The project(s) are evaluated up to 6 points. The first part of the written exam is evaluated up to 12 points, whereas the second one up to 15 points. The final score is the sum of the partial scores. The minimum threshold to pass the exam is 6 points in the first part of the written exam and of 7,5 points in the second part of the written exam. The exam is passed if one obtains a total score greater or equal to 18. A score greater or equal to 31 implies the "laude". The evaluation of students who did not complete the project(s) will be based on the written exam and on a oral exam.
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