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Geometria differenziale e computazionale

01PPYMQ

A.A. 2020/21

Lingua dell'insegnamento

Italiano

Corsi di studio

Corso di Laurea in Matematica Per L'Ingegneria - Torino

Organizzazione dell'insegnamento
Didattica Ore
Docenti
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Didattica
SSD CFU Attivita' formative Ambiti disciplinari
MAT/03 6 A - Di base Formazione matematica di base
2019/20
Il corso completa la formazione di base dello studente con riferimento ai contenuti dei corsi di Analisi Matematica e Geometria. L'obiettivo del corso è di introdurre e sviluppare i concetti fondamentali della Geometria Differenziale di curve e superfici, con particolare attenzione agli aspetti computazionali. Il corso sarà diviso in tre parti. La prima parte sarà dedicata allo studio di curve e superfici, con un riguardo particolare al concetto di curvatura. Nella seconda parte verrà spiegato come usare il software Mathematica per risolvere problemi inerenti al calcolo delle curvature delle curve e superfici. L'ultima parte del corso sarà dedicata ad approfondimenti/generalizzazioni dei concetti introdotti nelle parti precedenti. Sarà introdotto il concetto di varietà differenziabile (o liscia). Sotto un certo aspetto una tale varietà generalizza il concetto di spazio vettoriale: infatti una varietà differenziabile M è "localmente" interpretabile come R^n, una volta fissata una parametrizzazione (locale) di M, nello stesso modo in cui uno spazio vettoriale n-dimensionale V può essere riguardato come R^n una volta fissata una base di V. Ciò permetterà l'applicazione di metodi analitici nello studio delle proprietà topologiche delle varietà.
The course completes the basic knowledge of the student acquired through the courses of Mathematical Analysis anf Geometry. The aim of the course is to develop the fundamental concepts of Differential Geometry of curves and surfaces, with particular attention to the related computational aspects. The course is divided in three parts. The first part of the course will be dedicated to the study of curves and surfaces, with particular attention to the notion of curvature. In the second part it will be explained how to use the software Mathematica to solve problems concerning the computation of curvatures of curves and surfaces. The last part will be devoted to an in-depth analysis/generalization of the concepts introduced in the previous parts. It will be introduced the notion of a differentiable manifold (smooth manifold). From a certain viewpoint, such notion generalizes the concept of vector space. In fact, a smooth manifold M can be "locally" interpreted as R^n, once one fixes a local parametrization of M: this is reminiscent of the property that any n-dimensional vector space V can be considered as R^n once one fixes a basis of V. This will allow to apply analytic methods in the study of topological properties of the manifolds.
- Capacità di formalizzare e risolvere problemi geometrici provenienti dallo studio di curve e superfici. - Applicazione delle conoscenze acquisite mediante l'uso del software Mathematica.
- Skill in handling geometrical problems coming from the study of curves and surfaces - Application of the acquired knowledge by using the software Mathematica
Conoscenza degli argomenti trattati nei corsi di Analisi Matematica I, Algebra Lineare e Geometria, Analisi Matematica II e Istituzioni di Algebra e Geometria.
Knowledge of the topics treated in the courses of Mathematical Analysis I, Linear Algebra and Geometria, Mathematical Analysis II, Advanced Algebra and Geometry
PRIMA PARTE - Curve e Superfici (Prof. Manno): --Curve in spazi Euclidei. Curve parametrizzate, regolari e bi-regolari: retta tangente e punti di flesso. Parametrizzazione mediante l'ascissa curvilinea. Lunghezza di un arco di curva e curve rettificabili. Triedro di Frenet, curvatura e torsione. Teorema di esistenza e unicità delle curve bi-regolari con velocità, curvatura e torsione assegnate. --Superfici in spazi Euclidei. Superfici parametrizzate, superfici regolari e loro spazio tangente. Prima e seconda forma fondamentale di una superficie. Mappa di Gaussi. Operatore di forma. Curvature principali. Curvatura media. Curvatura di Gauss. SECONDA PARTE - Uso del software Mathematica (Prof. Musso): Introduzione al software Mathematica. Risoluzione numerica del problema della parametrizzazione mediante l'ascissa curvilinea. Descrizione numerica delle curve con curvatura e torsione assegnata. Risoluzione con l'uso di Mathematica di alcuni esercizi discussi nella prima parte. TERZA PARTE - Approfondimenti (Prof. Manno): Introduzione alle varietà differenziabili come spazi localmente Euclidei. Differenze e analogie con gli spazi vettoriali. Varietà differenziabile come analogo "curvo" di uno spazio vettoriale. Definizione di varietà differenziabile (varietà liscia) tramite parametrizzazioni locali. Funzioni di transizione e atlante differenziabile. Spazio tangente, campi vettoriali e loro curve integrali. Sottovarietà di una varietà differenziabile. Curve e superfici come sottovarietà.
FIRST PART - Curves and Surfaces (Prof. Manno): -- Curves in Euclidean spaces. Parametrized curves, regular and bi-regular curves: tangent line and inflection points. Parametrization through the arc-length. Length of curves and rectifiability. Frenet trihedron, curvature and torsion. Theorem of existence and uniqueness of bi-regular curves with assigned speed, curvature and torsion. -- Surfaces in Euclidean spaces. Parametrized surfaces, regular surfaces and their tangent space. First and second fundamental form of a surface. Gauss map. Shape oprator. Principal curvatures. Mean curvature. Gaussian curvature. SECOND PART - Usage of the software Mathematica (Prof. Musso): Introduction to the software Mathematica. Numerical solution of the problem of the parameterization by the arc length. Numerical description of the curves with given curvature and torsion. Solution of some exercises proposed in the first part of the course by using the software Mathematica. THIRD PARTE - Insights (Prof. Manno): Introduction to the notion of differentiable manifolds (smooth manifolds) as locally Euclidean spaces. Connection with vector spaces. Smooth manifold as "curve" analog of a vector space. Definition of smooth manifolds through local parametrizations. Transition functions and smooth atlas. Tangent space, vector fields and their integral curves. Submanifolds of a smooth manifold. Curves and surfaces as submabifolds.
L’insegnamento consta di lezioni ed esercitazioni in aula e sarà suddiviso in tre parti. La prima parte del corso (circa 20 ore) sarà tenuta dal prof. Manno, che introdurrà i concetti base riguardanti le curve e superfici di spazi euclidei. La seconda parte del corso (circa 20 ore) sarà tenuta dal prof. Musso, che mostrerà come usare il software Mathematica per risolvere problemi riguardanti curve e superfici. La terza parte del corso (circa 20 ore) sarà tenuta dal prof. Manno. Riguarderà approfondimenti e generalizzazioni dei concetti/teoremi trattati nelle parti precedenti.
The course consists of lectures and practical classes. It will divided in three parts. The first part of the course (around 20 hours) will be held by prof. Manno, who will introduce the basic concepts concerning curves and surfaces in euclidean spaces. The second part of the course (around 20 hours) will be held by prof. Musso, who will show how to use the software Mathematica to solve problems concerning curves and surfaces. The third part of the course (around 20 hours) will be held by prof. Manno. It will concern in-depth analysis and generalizations of the concepts/theorems treated in the previous parts.
- Martin Lipschultz, Differential Geometry, Schaum's outlines - E. Abbena, A. Gray, S. Salamon, Modern Geometry of Curves and Surfaces, Chapman & Hall/CRC - F. Fava, Elementi di Geometria Differenziale, Levrotto e Bella
- Martin Lipschultz, Differential Geometry, Schaum's outlines - E. Abbena, A. Gray, S. Salamon, Modern Geometry of Curves and Surfaces, Chapman & Hall/CRC - F. Fava, Elementi di Geometria Differenziale, Levrotto e Bella
Modalità di esame: prova scritta; prova orale facoltativa;
Modalità di esame: prova scritta; prova orale facoltativa. La valutazione è basata su una prova scritta della durata di due ore divisa in due parti, ognuna della durata di un'ora. La prima parte della prova scritta riguarderà la risoluzione di problemi tramite l'uso del software Mathematica. La seconda parte della prova scritta sarà di carattere più teorico e riguarderà principalmente gli argomenti trattati nella prima e nella terza parte del corso. Maggiori dettagli sulla prova scritta saranno comunicati durante il corso. La prima parte della prova scritta è valutata fino ad un massimo di 12 punti e la seconda fino ad un massimo di 21 punti. Il voto finale è dato dalla somma dei punteggi parziali. La soglia minima per superare l'esame è di 4 punti nella prima parte della prova scritta e di 7 punti nella seconda parte della prova scritta. L’esame è superato con una votazione complessiva maggiore o uguale a 18. Un punteggio maggiore o uguale a 31 comporta l’attribuzione della lode.
Exam: written test; optional oral exam;
Exam: written exam, optional oral exam. The evaluation is based on a written exam divided in two parts. Each part of the written exam lasts one hour. The first part of the written exam concerns the solution of problems by using the software Mathematica. The second part of the written exam is more theoretical and it will concern the arguments treated in the first and third part of the course. Further details of the written exam will be given during the course. The first part of the written exam is evaluated up to 12 points, whereas the second one up to 21 points. The final score is the sum of the partial scores. The minimum threshold to pass the exam is 4 points in the first part of the written exam and of 7 points in the second part of the written exam. The exam is passed if one obtains a total score greater or equal to 18. A score greater or equal to 31 implies the "laude".


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