Servizi per la didattica
PORTALE DELLA DIDATTICA

Linear Algebra and Geometry

01RKCLZ, 01RKCJM, 01RKCLI, 01RKCLM, 01RKCLN, 01RKCLP, 01RKCLS, 01RKCLX, 01RKCMA, 01RKCMB, 01RKCMC, 01RKCMH, 01RKCMK, 01RKCMN, 01RKCMO, 01RKCMQ, 01RKCNX, 01RKCOA, 01RKCOD, 01RKCPC, 01RKCPI, 01RKCPL

A.A. 2020/21

Course Language

Italian

Course degree

1st degree and Bachelor-level of the Bologna process in Aerospace Engineering - Torino
1st degree and Bachelor-level of the Bologna process in Mechanical Engineering - Torino
1st degree and Bachelor-level of the Bologna process in Automotive Engineering - Torino
1st degree and Bachelor-level of the Bologna process in Computer Engineering - Torino
1st degree and Bachelor-level of the Bologna process in Automotive Engineering - Torino
1st degree and Bachelor-level of the Bologna process in Electronic And Communications Engineering - Torino
1st degree and Bachelor-level of the Bologna process in Material Engineering - Torino
1st degree and Bachelor-level of the Bologna process in Electrical Engineering - Torino
1st degree and Bachelor-level of the Bologna process in Biomedical Engineering - Torino
1st degree and Bachelor-level of the Bologna process in Chemical And Food Engineering - Torino
1st degree and Bachelor-level of the Bologna process in Civil Engineering - Torino
1st degree and Bachelor-level of the Bologna process in Building Engineering - Torino
1st degree and Bachelor-level of the Bologna process in Energy Engineering - Torino
1st degree and Bachelor-level of the Bologna process in Mechanical Engineering - Torino
1st degree and Bachelor-level of the Bologna process in Environmental And Land Engineering - Torino
1st degree and Bachelor-level of the Bologna process in Mathematics For Engineering - Torino
1st degree and Bachelor-level of the Bologna process in Electronic Engineering - Torino
1st degree and Bachelor-level of the Bologna process in Computer Engineering - Torino
1st degree and Bachelor-level of the Bologna process in Physical Engineering - Torino
1st degree and Bachelor-level of the Bologna process in Cinema And Media Engineering - Torino
1st degree and Bachelor-level of the Bologna process in Engineering And Management - Torino
1st degree and Bachelor-level of the Bologna process in Engineering And Management - Torino

Course structure
Teaching Hours
Lezioni 60
Esercitazioni in aula 30
Esercitazioni in laboratorio 10
Teachers
Teacher Status SSD h.Les h.Ex h.Lab h.Tut Years teaching
Boralevi Ada - Corso 13   Professore Associato MAT/03 40 20 0 0 5
Casnati Gianfranco - Corso 8 Professore Ordinario MAT/03 40 0 0 0 5
Casnati Gianfranco - Corso 14 Professore Ordinario MAT/03 40 20 0 0 5
Cumino Caterina - Corso 5 Professore Associato MAT/03 40 20 0 0 5
Cumino Caterina - Corso 9 Professore Associato MAT/03 40 20 0 0 5
Di Scala Antonio Jose' - Corso 6 Professore Ordinario MAT/03 40 20 0 0 5
Ferrarotti Massimo - Corso 11 Professore Associato MAT/03 40 20 0 0 5
Festa Adriano - Corso 3   Ricercatore a tempo det. L.240/10 art.24-B MAT/08 20 0 20 0 1
Gatto Letterio - Corso 1 Professore Associato MAT/03 40 20 0 0 5
Gatto Letterio - Corso 12 Professore Associato MAT/03 40 20 0 0 5
Impera Debora - Corso 2   Ricercatore a tempo det. L.240/10 art.24-B MAT/03 40 20 0 0 2
Malaspina Francesco - Corso 19   Professore Associato MAT/03 40 0 0 0 5
Manno Giovanni - Corso 10   Professore Associato MAT/03 40 20 0 0 5
Musso Emilio - Corso 4 Professore Ordinario MAT/03 40 20 0 0 5
Musso Emilio - Corso 7 Professore Ordinario MAT/03 40 20 0 0 5
Pons Llopis Juan Francisco - Corso 17   Ricercatore a tempo det. L.240/10 art.24-B MAT/03 40 20 0 0 2
Rimoldi Michele - Corso 15   Ricercatore a tempo det. L.240/10 art.24-B MAT/03 40 20 0 0 2
Scianna Marco - Corso 18   Ricercatore a tempo det. L.240/10 art.24-B MAT/07 20 0 0 0 3
Vaccarino Francesco - Corso 16 Professore Associato MAT/03 40 0 0 0 1
Teaching assistant
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Context
SSD CFU Activities Area context
MAT/03
MAT/08
7
3
A - Di base
A - Di base
Matematica, informatica e statistica
Matematica, informatica e statistica
2020/21
L’insegnamento di Algebra Lineare e Geometria ha due obiettivi principali. Il primo è presentare argomenti di base di algebra lineare e geometria analitica, educando al ragionamento logico deduttivo utilizzando un linguaggio formale appropriato. Il secondo obiettivo è presentare agli studenti i concetti fondamentali di alcuni metodi numerici di base dell’algebra lineare e la loro implementazione in ambiente Matlab, software numerico ormai ampiamente diffuso nel campo dell’ingegneria. In questo modo si vuole mostrare come gli aspetti teorici, simbolici e numerici interagiscono tra loro.
The course has two main goals. The first one is to introduce the main topics of linear algebra and geometry, training the student to follow logical deductive arguments and to use the proper formal language. The second goal is to give to the students the main concepts of some basic numerical methods of linear algebra and of their implementation in MATLAB, which is by now widely used in engineering. The course will show how theoretic, symbolic and numerical aspects interact with each other.
L’insegnamento vuole sviluppare la capacità da parte dello studente di comprendere argomenti logico deduttivi sottolineando il ruolo delle ipotesi, ad esempio, tramite la costruzione di esempi e controesempi. Lo studente acquisisce strumenti e tecniche che permettono di operare con enti geometrici (vettori nel piano e nello spazio, rette, piani, coniche e quadriche) e algebrici (sistemi di equazioni lineari, matrici, polinomi, autovalori, autovettori, spazi vettoriali e loro trasformazioni). Lo studente acquisisce inoltre le competenze necessarie per trattare numericamente, anche mediante l’utilizzo di un calcolatore, tutte quelle situazioni in cui i metodi algebrici non sono applicabili con “carta e penna” (ad esempio, risoluzione di un sistema lineare con un numero elevato di incognite ed equazioni). In particolare, lo studente impara a identificare un ente geometrico/algebrico, a riconoscerne le proprietà teoriche e a individuare e applicare il metodo algebrico/numerico più opportuno per il suo trattamento. L’implementazione e l’applicazione dei metodi numerici viene effettuata tramite il software MATLAB, di cui lo studente apprenderà la sintassi di base.
This course wants to develop the student's ability to understand logical arguments stressing the role of the hypothesis, for example by building examples and counterexamples. The student acquires tools and techniques to work with geometrical objects (vectors in the plane and in the space, lines, planes, conics and quadrics) and with algebraic objects (linear systems of equations, matrices, polynomials, eigenvalues, eigenvectors, vector spaces and their transformations). The student will also acquire the necessary knowledge to numerically solve, also using a computer, some basic problems in linear algebra when the “pencil and paper” method is not feasible (for example, the computation of the solution of a large linear system of equations). In particular, the student learns to identify an algebraic/geometric object, to recognize its theoretical properties and to choose the most fit algebraic/geometrical method to deal with the object. The implementation and the application of the numerical methods is done using the software MATLAB of which the student learns the basic aspects.
E` richiesta una buona dimestichezza con i concetti e gli strumenti matematici presentati negli insegnamenti del primo semestre. In particolare, sono necessarie le nozioni base sui numeri reali e complessi, su equazioni e disequazioni di primo e secondo grado, sul calcolo differenziale e integrale in una variabile forniti nell’insegnamento di Analisi Matematica I. E` richiesta inoltre la conoscenza dei principali costrutti sintattici, che si usano per la programmazione, forniti nell’insegnamento di Informatica.
A working knowledge of the mathematical tools presented in the first semester. In particular, a basic knowledge of real and complex numbers, solving equations and inequalities of degree one or two, differential and integral calculus as given in Mathematical Analysis I, as well as the main syntactic constructs used in computer programming, taught in the course of Computer Sciences
• Vettori nel piano e nello spazio e loro operazioni. Prodotto scalare, prodotto vettoriale e prodotto misto. Rette e piani nello spazio. Proiezioni ortogonali. • Matrici e loro operazioni. Matrici fortemente ridotte per righe. Sistemi di equazioni in forma matriciale e loro risoluzione con applicazioni geometriche. Equazioni matriciali, calcolo dell’inversa di una matrice. Determinanti. • Spazi vettoriali: definizioni, esempi ed applicazioni. Sottospazi vettoriali. Operazioni notevoli fra sottospazi. • Combinazioni lineari e dipendenza lineare. Metodo degli scarti. Basi di uno spazio vettoriale. Dimensione di uno spazio vettoriale. Dimensione di un sottospazio vettoriale finitamente generato. • Lo spazio vettoriale dei polinomi. La formula di Grassmann. • Applicazioni lineari. Immagine di un’applicazione lineare. Applicazioni lineari iniettive e suriettive. Isomorfismi. • Matrice di un’applicazione lineare. Endomorfismi e matrici quadrate. • Autovalori e autovettori. Autospazi di endomorfismi e di matrici. Polinomio caratteristico e spettro di un endomorfismo. Diagonalizzazione di un endomorfismo. • Basi ortonormali, matrici ortogonali. Algoritmo di Gram-Schmidt. Diagonalizzazione di matrici simmetriche mediante matrici ortogonali. Forme quadratiche e carattere di definizione. • Problemi metrici : distanza punto-retta, punto-piano, retta-retta. • Geometria quadratica: coniche, sfere. Quadriche non-degeneri in forma canonica. Riconoscimento di una quadrica. • Aritmetica di macchina: numeri di macchina, operazioni di macchina, errore di arrotondamento. Condizionamento di un problema numerico. Stabilità di un algoritmo. • Approssimazione di funzioni e di dati: interpolazione polinomiale globale e a tratti (spline). Principali risultati di convergenza. • Sistemi lineari: condizionamento e metodi numerici diretti. Fattorizzazioni di matrici: PA=LU, Choleski, QR e loro principali applicazioni. • Autovalori di matrici: condizionamento e metodi numerici: potenze, potenze inverse, QR (cenni). Decomposizione ai valori singolari di matrici e sue principali applicazioni.
• Vector in 2-space and in 3-space and their operations. Dot product, cross product and box product. Lines and planes in 3-space. Orthogonal projections. • Matrices and their operations. Strongly reduced matrices. Matrix form of linear systems of equations and their solutions with geometrical applications. Matrix equations and inverse of a matrix. Determinants. • Vector spaces: definition, examples and applications. Sub-vector spaces and main operations with them. • Linear combination and linearly dependent vectors. How to extract linearly independent vectors from a set. Bases of a vector space. Dimension of a vector space. Dimension of finitely generated subspace. • Space of polynomials. Grassmann's relation. • Linear maps. Image of a linear map. Injective and surjective linear maps. Isomorphisms. • Matrix of a linear map. Endomorphism and square matrices. • Eigenvalues and eigenvectors. Eigenspaces of matrix endomorphisms. Characteristic polynomial of an endomorphism. Diagonalization of an endomorphism. • Orthonormal bases, orthonormal matrices. Gram-Schmidt's algorithm. Diagonalization of real symmetric matrices using orthogonal matrices. Quadratic forms and the sign that they can take in a point. • Metric problems: distance between two points, two lines, and a point and a line. • Quadratic geometry: conic curves, and spheres. Non-degenerate quadrics in canonical form. Recognising a quadric surface. •Machine arithmetic, machine numbers, rounding error. Conditioning of a numerical problem, stability of an algorithm. •Approximation of functions and data : polynomial interpolation and piecewise polynomial interpolation (spline). Main results about convergence. •Linear systems: conditioning and numerical direct methods. Matrix factorizations PA=LU, Choleski, QR and their main applications. •Eigenvalues of matrices: conditioning and numerical methods (powers, inverse power, QR (basics notions)). Singular value decomposition of matrices and its main applications.
L’insegnameno consta di lezioni (circa 60 ore), esercitazioni in aula (circa 30 ore) e di laboratorio (circa 10 ore).
Lectures (60 hours), practical sessions in the classroom (30 hours), and computer assisted practical sessions (10 hours).
Sul portale della didattica sarà disponibile il materiale didattico preparato dai docenti contenente anche esercizi svolti e proposti. Si fornisce una lista di testi di riferimento frequentemente utilizzati. M. Ferrarotti, M. Abrate “Lezioni di Algebra Lineare”, CELID, 2018. M. Ferrarotti, M. Abrate “Lezioni di Geometria”, CELID, 2018. L. Gatto, Lezioni di Algebra lineare e Geometria, CLUT, 2018. S. Greco, P. Valabrega, Lezioni di Geometria, Vol. 1 Algebra lineare, Vol. 2 Geometria Analitica, Ed. Levrotto e Bella, Torino 2009. G. Monegato, Metodi e algoritmi per il Calcolo Numerico, CLUT, 2008. A. Quarteroni, F. Saleri, P. Gervasio, Scientific Computing with MATLAB and OCTAVE, Springer, 2014. G. Strang, Algebra Lineare, Apogeo, 2008. G. Strang, Introduction to Linear Algebra, Wellesley-Cambridge Press, 2016. E. Carlini, LAG: the written exam, CLUT 2019. E. Carlini, 50 quiz di Geometria CELID 2011. G. Casnati, M.L. Spreafico, Allenamenti di Geometria, Ed. Esculapio, Bologna 2013. J. Cordovez, Chissà chi lo sa?, CLUT 2013. L. Scuderi, Laboratorio di Calcolo Numerico, CLUT, 2005.
On the portale della didattica will be available didactical material prepared by the instructors including theory, solved and proposed exercises. Reference texts: A. Quarteroni, F. Saleri, P. Gervasio, Scientific Computing with MATLAB and OCTAVE, Springer, 2014. G. Strang, Introduction to Linear Algebra, Wellesley-Cambridge Press, 2016. E. Carlini, LAG: the written exam, v1 and v2 CLUT 2019 and 2020. E. Carlini, 50 multiple choices in Geometry, CELID 2011.
Modalità di esame: Prova scritta a risposta aperta o chiusa tramite PC con l'utilizzo della piattaforma di ateneo Exam integrata con strumenti di proctoring (Respondus);
L’esame è volto ad accertare la conoscenza teorica degli argomenti e l’apprendimento della capacità di applicare la teoria anche in un contesto pratico. Viene inoltre accertata l’abilità acquisita dallo studente nell’individuare e applicare i metodi, numerici o teorici, più opportuni per la risoluzione di alcuni problemi di base e nell’interpretare correttamente i risultati ottenuti. L’esame riguarderà quindi gli aspetti sia teorici che applicativi dell’insegnamento e sarà effettuato tramite un test informatizzato con domande a risposta chiusa o aperta. Il test è costituito da 14 domande di cui 10 vertono sulla parte teorica e 4 sulla parte numerica del corso. La prova, della durata di 75 minuti, permette di conseguire fino a 33 punti; ogni domanda ha lo stesso valore. Ogni domanda a risposta multipla ha 4 alternative di cui solo una corretta; per ogni risposta sbagliata si ha una penalizzazione del 15% e per ogni risposta non data si hanno 0 punti. Il docente può richiedere una prova orale (solo nel caso in cui lo studente abbia superato la prova con almeno 18 punti) che è intesa ad accertare ulteriormente l’apprendimento della teoria, costituendo un ulteriore elemento di valutazione. Durante le prove è vietato l'utilizzo di libri, appunti, e di dispositivi elettronici non autorizzati diversi dal PC su cui si svolge la prova d'esame. Il test sopra descritto viene svolto utilizzando la piattaforma di ateneo Exam integrata con strumenti di proctoring (Respondus).
Exam: Computer-based written test with open-ended questions or multiple-choice questions using the Exam platform and proctoring tools (Respondus);
The exam will check the theoretical knowledge of the material of the course and the ability of applying the theory in a practical context. It will also be checked the ability of the student of choosing and applying a numerical method depending on the explicit example. Thus the exam will focus on both theoretical and applied aspects of the course and will be performed using a PC assisted test using both open and closed questions. The test consists of 14 questions of which 10 are on the theoretical part and 4 are on the applied part. The test has a duration of 75 minutes and has a maximum score of 33 points; each question has the same value. Each multiple choice question has 4 alternatives of which only one is correct; each wrong answer has a penalty of 15% of its value and a not given answer gives 0 points. The teacher can ask the student to take an oral test (only in the case that the student of at least 18 points) to further test the theoretical knowledge of the student. During the test it is forbidden to use books, notes and not authorised electronic devices. The above described test will be performed using the platform Exam with a proctoring system (Respondus).
Modalità di esame: Test informatizzato in laboratorio; Prova scritta a risposta aperta o chiusa tramite PC con l'utilizzo della piattaforma di ateneo Exam integrata con strumenti di proctoring (Respondus);
La prova d’esame, sopra descritta, viene svolta sia in presenza e da remoto con le seguenti modalità. Nella modalità in presenza il test viene svolto in laboratorio usando la piattaforma di ateneo Exam. Nella modalità in remoto il test viene svolto usando la piattaforma di ateneo Exam integrata con strumenti di proctoring (Respondus).
Exam: Computer lab-based test; Computer-based written test with open-ended questions or multiple-choice questions using the Exam platform and proctoring tools (Respondus);
The above described test will be performed either on-site or on-line. The on-site exam will be performed in a LAIB using the platform Exam. The on-line exam will be performed using the platform Exam with proctoring system tools (Respondus).


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