L’insegnamento di Algebra Lineare e Geometria ha due obiettivi principali. Il primo è presentare argomenti di base di algebra lineare e geometria analitica, educando al ragionamento logico deduttivo utilizzando un linguaggio formale appropriato. Il secondo obiettivo è presentare agli studenti i concetti fondamentali di alcuni metodi numerici di base dell’algebra lineare e la loro implementazione in ambiente Matlab, software numerico ormai ampiamente diffuso nel campo dell’ingegneria. In questo modo si vuole mostrare come gli aspetti teorici, simbolici e numerici interagiscono tra loro.

L’insegnamento vuole sviluppare la capacità da parte dello studente di comprendere argomenti logico deduttivi sottolineando il ruolo delle ipotesi, ad esempio, tramite la costruzione di esempi e controesempi. Lo studente acquisisce strumenti e tecniche che permettono di operare con enti geometrici (vettori nel piano e nello spazio, rette, piani, coniche e quadriche) e algebrici (sistemi di equazioni lineari, matrici, polinomi, autovalori, autovettori, spazi vettoriali e loro trasformazioni). Lo studente acquisisce inoltre le competenze necessarie per trattare numericamente, anche mediante l’utilizzo di un calcolatore, tutte quelle situazioni in cui i metodi algebrici non sono applicabili con “carta e penna” (ad esempio, risoluzione di un sistema lineare con un numero elevato di incognite ed equazioni). In particolare, lo studente impara a identificare un ente geometrico/algebrico, a riconoscerne le proprietà teoriche e a individuare e applicare il metodo algebrico/numerico più opportuno per il suo trattamento. L’implementazione e l’applicazione dei metodi numerici viene effettuata tramite il software MATLAB, di cui lo studente apprenderà la sintassi di base.

E` richiesta una buona dimestichezza con i concetti e gli strumenti matematici presentati negli insegnamenti del primo semestre. In particolare, sono necessarie le nozioni base sui numeri reali e complessi, su equazioni e disequazioni di primo e secondo grado, sul calcolo differenziale e integrale in una variabile forniti nell’insegnamento di Analisi Matematica I. E` richiesta inoltre la conoscenza dei principali costrutti sintattici, che si usano per la programmazione, forniti nell’insegnamento di Informatica.

• Vettori nel piano e nello spazio e loro operazioni. Prodotto scalare, prodotto vettoriale e prodotto misto. Rette e piani nello spazio. Proiezioni ortogonali. • Matrici e loro operazioni. Matrici fortemente ridotte per righe. Sistemi di equazioni in forma matriciale e loro risoluzione con applicazioni geometriche. Equazioni matriciali, calcolo dell’inversa di una matrice. Determinanti. • Spazi vettoriali: definizioni, esempi ed applicazioni. Sottospazi vettoriali. Operazioni notevoli fra sottospazi. • Combinazioni lineari e dipendenza lineare. Metodo degli scarti. Basi di uno spazio vettoriale. Dimensione di uno spazio vettoriale. Dimensione di un sottospazio vettoriale finitamente generato. • Lo spazio vettoriale dei polinomi. La formula di Grassmann. • Applicazioni lineari. Immagine di un’applicazione lineare. Applicazioni lineari iniettive e suriettive. Isomorfismi. • Matrice di un’applicazione lineare. Endomorfismi e matrici quadrate. • Autovalori e autovettori. Autospazi di endomorfismi e di matrici. Polinomio caratteristico e spettro di un endomorfismo. Diagonalizzazione di un endomorfismo. • Basi ortonormali, matrici ortogonali. Algoritmo di Gram-Schmidt. Diagonalizzazione di matrici simmetriche mediante matrici ortogonali. Forme quadratiche e carattere di definizione. • Problemi metrici : distanza punto-retta, punto-piano, retta-retta. • Geometria quadratica: coniche, sfere. Quadriche non-degeneri in forma canonica. Riconoscimento di una quadrica. • Aritmetica di macchina: numeri di macchina, operazioni di macchina, errore di arrotondamento. Condizionamento di un problema numerico. Stabilità di un algoritmo. • Approssimazione di funzioni e di dati: interpolazione polinomiale globale e a tratti (spline). Principali risultati di convergenza. • Sistemi lineari: condizionamento e metodi numerici diretti. Fattorizzazioni di matrici: PA=LU, Choleski, QR e loro principali applicazioni. • Autovalori di matrici: condizionamento e metodi numerici: potenze, potenze inverse, QR (cenni). Decomposizione ai valori singolari di matrici e sue principali applicazioni.

L’insegnameno consta di lezioni (circa 60 ore), esercitazioni in aula (circa 30 ore) e di laboratorio (circa 10 ore).

Sul portale della didattica sarà disponibile il materiale didattico preparato dai docenti contenente anche esercizi svolti e proposti. Si fornisce una lista di testi di riferimento frequentemente utilizzati. M. Ferrarotti, M. Abrate “Lezioni di Algebra Lineare”, CELID, 2018. M. Ferrarotti, M. Abrate “Lezioni di Geometria”, CELID, 2018. L. Gatto, Lezioni di Algebra lineare e Geometria, CLUT, 2018. S. Greco, P. Valabrega, Lezioni di Geometria, Vol. 1 Algebra lineare, Vol. 2 Geometria Analitica, Ed. Levrotto e Bella, Torino 2009. G. Monegato, Metodi e algoritmi per il Calcolo Numerico, CLUT, 2008. A. Quarteroni, F. Saleri, P. Gervasio, Scientific Computing with MATLAB and OCTAVE, Springer, 2014. G. Strang, Algebra Lineare, Apogeo, 2008. G. Strang, Introduction to Linear Algebra, Wellesley-Cambridge Press, 2016. E. Carlini, LAG: the written exam, CLUT 2019. E. Carlini, 50 quiz di Geometria CELID 2011. G. Casnati, M.L. Spreafico, Allenamenti di Geometria, Ed. Esculapio, Bologna 2013. J. Cordovez, Chissà chi lo sa?, CLUT 2013. L. Scuderi, Laboratorio di Calcolo Numerico, CLUT, 2005.

Modalità di esame: Prova scritta tramite PC con l'utilizzo della piattaforma di ateneo;

L’esame è volto ad accertare la conoscenza teorica degli argomenti e l’apprendimento della capacità di applicare la teoria anche in un contesto pratico. Viene inoltre accertata l’abilità acquisita dallo studente nell’individuare e applicare i metodi, numerici o teorici, più opportuni per la risoluzione di alcuni problemi di base e nell’interpretare correttamente i risultati ottenuti. L’esame riguarderà quindi gli aspetti sia teorici che applicativi dell’insegnamento e sarà effettuato tramite un test informatizzato con domande a risposta chiusa o aperta. Il test è costituito da 14 domande di cui 10 vertono sulla parte teorica e 4 sulla parte numerica del corso. La prova, della durata di 75 minuti, permette di conseguire fino a 33 punti; ogni domanda ha lo stesso valore. Ogni domanda a risposta multipla ha 4 alternative di cui solo una corretta; per ogni risposta sbagliata si ha una penalizzazione del 15% e per ogni risposta non data si hanno 0 punti. Il docente può richiedere una prova orale (solo nel caso in cui lo studente abbia superato la prova con almeno 18 punti) che è intesa ad accertare ulteriormente l’apprendimento della teoria, costituendo un ulteriore elemento di valutazione. Durante le prove è vietato l'utilizzo di libri, appunti, e di dispositivi elettronici non autorizzati diversi dal PC su cui si svolge la prova d'esame. Il test sopra descritto viene svolto utilizzando la piattaforma di ateneo Exam integrata con strumenti di proctoring (Respondus).

Modalità di esame: Test informatizzato in laboratorio; Prova scritta tramite PC con l'utilizzo della piattaforma di ateneo;

La prova d’esame, sopra descritta, viene svolta sia in presenza e da remoto con le seguenti modalità. Nella modalità in presenza il test viene svolto in laboratorio usando la piattaforma di ateneo Exam. Nella modalità in remoto il test viene svolto usando la piattaforma di ateneo Exam integrata con strumenti di proctoring (Respondus).