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Analisi tempo-frequenza e multiscala

01RMQNG

A.A. 2018/19

2018/19

Analisi tempo-frequenza e multiscala

L’insegnamento si rivolge principalmente agli studenti di Ingegneria Matematica e agli studenti interessati ai fondamenti matematici della elaborazione di segnali e immagini digitali in possesso di solide conoscenze di matematica di base. L’insegnamento tratta di alcuni temi di analisi armonica applicata e dei principi matematici dell'analisi dei segnali, partendo dall'analisi di Fourier discreta, fino ad arrivare all'analisi tempo-frequenza e tempo-scala (ondine). Da un punto di vista moderno i segnali sono rappresentati da vettori in uno spazio di Hilbert (di successioni o funzioni) e i problemi di approssimazione, compressione, denoising, si basano sulla ricerca di basi opportune rispetto alla quali i segnali di una data classe abbiano una rappresentazione sparsa. Tipicamente si tratta di basi strutturate, costruite attraverso operazioni di traslazione, modulazione e dilatazione a partire da una finestra/ondina fissata. I risultati classici della teoria dei segnali (campionamenti, filtri, banchi di filtri, ecc.) possono tutti rileggersi in questo linguaggio analitico-geometrico proprio dell'Analisi Funzionale che e’ illuminante in se’ ed e' utilizzato nella ricerca corrente in analisi tempo-frequenza e mathematical signal processing.

Analisi tempo-frequenza e multiscala

The course is mostly addressed to the students of Mathematical Engineering, but it is suggested to all students interested in the mathematical foundations of digital signal and image processing, with a solid mathematical background. It is essentially a course in applied harmonic analysis, devoted to the principles of signal analysis, starting from discrete Fourier analysis, up to the time-frequency and time-scale (wavelets) analysis. From a modern point of view, signals are modelled by vectors in Hilbert spaces (of sequences or functions), and the problems of approximation and compression are based on the representation of the signal with respect to a suitable basis. One is then interested in looking for optimal and structured bases, often constructed by operations such as translations, dilations and modulations, starting from a suitable template. The classical results from signal processing (sampling, interpolation, filters, filter banks, etc.) can be re-interpreted by this geometric-analytic language from Functional Analysis, which is illuminating in its own right and is also the language currently used in time-frequency analysis and mathematical signal processing.

Analisi tempo-frequenza e multiscala

Comprensione degli argomenti trattati e relativa abilità di utilizzare adeguati strumenti matematici nelle discipline ingegneristiche. Precisamente, capacita' di formulare e studiare i problemi classici dell'analisi dei segnali in termini di operatori in spazi di Hilbert, proiezioni, sviluppi rispetto ad una base. Capacita' di utilizzare le basi piu' opportune per la rappresentazione, approssimazione e compressione di differenti classi di segnali. Capacita' di interpretare le varie trasformate in termini di localizzazione in tempo-frequenza e time-frequency tilings.

Analisi tempo-frequenza e multiscala

Understanding of the subjects of the course and computational skill. Familiarity with the mathematical content of engineering disciplines. Precisely, understanding and ability of studying the classical problems from signal processing in terms of operators in Hilbert spaces, projections, expansions with respect to a basis. Ability of using the most convenient bases for the representation, approximation and compression for different classes of signals. Ability of interpreting the several transforms in terms of time-frequency localization and time-frequency tilings.

Analisi tempo-frequenza e multiscala

Gli argomenti trattati negli insegnamenti di Analisi Matematica I, II, Geometria e Analisi Funzionale.

Analisi tempo-frequenza e multiscala

The topics contained in the courses of Mathematical Analysis I, II, Geometry and Functional Analysis.

Analisi tempo-frequenza e multiscala

1) Richiami su spazi di Hilbert, basi ortonormali. Basi di Riesz. Operatori di analisi e sintesi. Applicazioni all'identificazione facciale. 2) Sistemi lineari tempo-invarianti a tempo discreto. Analisi di Fourier discreta: trasformata di Fourier a tempo discreto (DTFT), trasformata zeta, trasformata di Fourier discreta (DTF). 3) Campionamento e interpolazione per funzioni e successioni. Localizzazione nel tempo e in frequenza, principio di indeterminazione e basi di ondine di funzioni. 4) Banchi di filtri. Trasformata ondina discreta (DWT), basi di ondine di successioni. Time-frequency tilings. 5) Trasformate tempo-frequenza continue: trasformata di Fourier a tempo brevi (STFT) e trasformata ondina continua (CWT). Relazione con il gruppo affine della retta. Applicazione alla individuazione delle singolarità.

Analisi tempo-frequenza e multiscala

1) Review on Hilbert spaces, orthonormal bases, Riesz bases. Analysis and synthesis operators. Application to face recognition. 2) Discrete time linear time-invariant systems. Discrete Fourier analysis: discrete time Fourier transform (DTFT), z-transform , discrete Fourier transform (DFT). 3) Sampling and interpolation for functions and sequences. Localization in time and frequency, uncertainty principle and Wavelet bases of functions. 4) Filter banks. Discrete wavelet transform (DWT). Wavelet bases of sequences. Time-frequency tilings. 5) Continuous time-frequency transform: short-time Fourier transform (STFT) and continuous wavelet transform. Relationship with the affine group of the line. Application to singularity detection.

Analisi tempo-frequenza e multiscala

Analisi tempo-frequenza e multiscala

Analisi tempo-frequenza e multiscala

L'insegnamento consiste di 40 ore di lezione e 20 ore di esercitazione in laboratorio. Le lezioni sono dedicate alla presentazione degli argomenti del programma dell'insegnamento con definizioni, proprietà ed alcune dimostrazioni ritenute utili per una migliore comprensione degli argomenti e per fornire gli strumenti necessari per sviluppare capacità di ragionamento logico-deduttivo da parte dello studente. Ogni argomento teorico trattato nelle lezioni viene arricchito da esempi introduttivi. Le ore di esercitazione sono dedicate allo studio di piccoli progetti nei laboratori informatici.

Analisi tempo-frequenza e multiscala

Theoretical lessons: 40 hours. Exercise hours: 20 hours in computer lab. Theoretical lessons are devoted to the presentation of the topics, with definitions, properties and the proofs which are believed to facilitate the learning process. Every theoretical aspect is associated with introductory examples. The exercise hours are devoted to the analysis of small projects in computer lab.

Analisi tempo-frequenza e multiscala

-- Note delle lezioni, fornite dal docente -- M. Vetterli, J. Kovacevic, V. Goyal, Foundations of signal processing, Cambridge University Press, 2014 -- J. Kovacevic, V. Goyal, M. Vetterli, Fourier and wavelets signal processing, in preparazione (entrambi disponibili alla pagina http://www.fourierandwavelets.org) Ulteriore materiale sarà reso disponibile sul Portale della Didattica.

Analisi tempo-frequenza e multiscala

-- Lecture notes (in italian), provided by the instructor -- M. Vetterli, J. Kovacevic, V. Goyal, Foundations of signal processing, Cambridge University Press, 2014 -- J. Kovacevic, V. Goyal, M. Vetterli, Fourier and wavelets signal processing, in preparation (both available on the web page http://www.fourierandwavelets.org) Other material will be available on the Portale della Didattica.

Analisi tempo-frequenza e multiscala

Modalità di esame: Prova orale obbligatoria;

Analisi tempo-frequenza e multiscala

L’esame è volto ad accertare la conoscenza degli argomenti elencati nel programma ufficiale del corso e la capacità di applicare la teoria ed i relativi metodi di calcolo allo sviluppo di semplici progetti. In particolare, viene valutata la capacita' di formulare e studiare i problemi classici dell'analisi dei segnali in termini di operatori in spazi di Hilbert, proiezioni, sviluppi rispetto ad una base e la comprensione e capacita' di interpretazione, anche in termini qualitativi, delle trasformate e basi utilizzate correntemente per la rappresentazione sparsa di varie classi di segnali. Le valutazioni sono espresse in trentesimi e l’esame è superato se la votazione riportata è di almeno 18/30. L'esame consiste in una prova orale, che include la discussione di un esercizio o progetto assegnato durante il corso.

Analisi tempo-frequenza e multiscala

Exam: Compulsory oral exam;

Analisi tempo-frequenza e multiscala

The goal of the exam is to test the knowledge of the candidate on the topics included in the official program of the course and to verify the computational and theoretical skills in solving exercises and developing small projects. In particular, the exam test the understanding and ability of studying the classical problems from signal processing in terms of operators in Hilbert spaces, projections, expansions with respect to a basis, and the understating and the ability of interpreting, even in qualitative terms, of the transforms and bases currently used for the sparse representation of several classes of signals. Marks range from 0 to 30 and the exam is successful if the mark is at least 18. The exam is oral and includes a discussion of an exercise or project assigned during the course.

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