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Complementi di algebra multilineare con applicazioni alla fisica matematica

01TBRRT

A.A. 2018/19

Lingua dell'insegnamento

Italiano

Corsi di studio

Dottorato di ricerca in Matematica Pura E Applicata - Torino

Organizzazione dell'insegnamento
Didattica Ore
Lezioni 30
Docenti
Docente Qualifica Settore h.Lez h.Es h.Lab h.Tut Anni incarico
Gatto Letterio Professore Associato MAT/03 30 0 0 0 1
Collaboratori
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Didattica
SSD CFU Attivita' formative Ambiti disciplinari
*** N/A ***    
2018/19
PERIODO: APRILE - GIUGNO Si intende offrire un corso di base allo scopo di approfondire nozioni elementari di algebra multilineare (algebra tensoriale, algebra esterna, teoria dei determinanti, algebre di Clifford) con applicazioni alla corrispondenza di Bose-Fermi nella teoria delle rappresentazioni dell'algebra di Heisenberg. Quest'ultimo argomento sarÓ pretesto e motivazione per l'approfondimento proposto. Il corso, di natura essenzialmente interdisciplinare, non richiede altri prerequisiti che analisi 1 e 2, algebra lineare del primo anno di studi e rudimenti su anelli di polinomi.
PERIOD: APRIL - JUNE The goal is to offer a basic course revisiting some elementary notions of multilinear algebra (such as: tensor algebras, exterior algebras, theory of determinants and Clifford algebras, to name a few) with applications to the boson-fermion correspondence in the representation theory of the Heisenberg oscillar algebra. This last topic will be mainly a pretest to motivate the exposition of the preliminary part. The course will be interdisciplinary in nature. No prerequisite is required beside Analysis 1 and 2, basic linear algebra and a few rudiments concerning polynomial rings.
Moduli su un anello commutativo con unitÓ, algebre associative, algebra tensoriale, algebra esterna, teoria dei determinanti, (super)algebre di Lie, algebra universale inviluppante di un'algebra di Lie. L'esempio dell'algebra di Weil degli operatori differenziali vista come universal enveloping algebra dell'algebra di Heisenberg. Le coordinate di PlŘcker della grassmanniana. L'anello delle funzioni simmetriche, approssimazione della corrispondenza di Bose-Fermi come isomorfismo tra anelli di polinomi e potenze esterne. Algebre di vertice come versione assiomatica della Quantum Field Theory (alla Wightman), la superalgebra di vertice dei fermioni liberi e operatori di Vertice che la generano. Relazione con la gerarchia di infinite equazioni differenziali alle derivate parziali di Kadomtsev-Petviasvilii (KP hierarchy) nella forma bilineare di Hirota. Connessioni con i solitoni e, tempo permettendo, simulazioni numeriche con Matlab. Il corso si ritaglierÓ comunque un itinerario su misura tenendo conto della formazione e degli interessi dell'eventuale utenza. in inglese
Modules over a commutative ring with unit as a generalization of vector spaces. Associative algebras, tensor algebras, exterior algebras, theory of determinants. The example of the Weil algebra of differential operators as universal enveloping algebra of the Heisenberg oscillator algebra. PlŘcker coordinates of a Grassmannian. The ring of symmetric fucntions, approximation of the boson-fermion correspondence seen as module isomorphism between exterior powers and polynomial rings. Vertex algebras seen as axiomatization of the QFT Ó la Wightman, the vertex superalgebra of free fermions and vertex operators generating it. Relationship with KP hierarchy, a completely integrable system, in the Hirota bilinear form. Connections with solitons and, time permitting, numerical simulation with Matlab. The course will be shaped according to the background and the specific interests of the possible audience
ModalitÓ di esame:
Exam:
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Gli studenti e le studentesse con disabilitÓ o con Disturbi Specifici di Apprendimento (DSA), oltre alla segnalazione tramite procedura informatizzata, sono invitati a comunicare anche direttamente al/la docente titolare dell'insegnamento, con un preavviso non inferiore ad una settimana dall'avvio della sessione d'esame, gli strumenti compensativi concordati con l'UnitÓ Special Needs, al fine di permettere al/la docente la declinazione pi¨ idonea in riferimento alla specifica tipologia di esame.
Exam:
In addition to the message sent by the online system, students with disabilities or Specific Learning Disorders (SLD) are invited to directly inform the professor in charge of the course about the special arrangements for the exam that have been agreed with the Special Needs Unit. The professor has to be informed at least one week before the beginning of the examination session in order to provide students with the most suitable arrangements for each specific type of exam.
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