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Variational methods in biomechanics

01TBSRT

A.A. 2021/22

Course Language

Italian

Course degree

Doctorate Research in Matematica Pura E Applicata - Torino

Course structure
Teaching Hours
Lezioni 20
Teachers
Teacher Status SSD h.Les h.Ex h.Lab h.Tut Years teaching
Grillo Alfio   Professore Associato MAT/07 20 0 0 0 2
Teaching assistant
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Context
SSD CFU Activities Area context
*** N/A ***    
Valutazione CPD /
Il corso rielabora alcuni aspetti teorici della meccanica della crescita e della riorganizzazione strutturale (rimodellamento) dei tessuti biologici, proponendo una chiave di lettura suggerita dalla Meccanica Analitica e dai Princìpi Variazionali. A tal fine, le problematiche trattate saranno inquadrate nell’ambito della Teoria dei Campi, e saranno studiate seguendo un approccio basato sulla Meccanica dei Mezzi Continui, opportunamente generalizzato per includere fenomeni chemo-meccanici. Poiché crescita e rimodellamento sono il risultato di fenomeni di varia natura, il loro studio necessita competenze trasversali. Ne consegue un ambiente interdisciplinare scientificamente molto fecondo che, però, richiede di conciliare princìpi fisici consolidati, quali le Leggi di Bilancio, con leggi fenomenologiche introdotte ad hoc e che, pur essendo compatibili con eventuali dati sperimentali, non sempre trovano una chiara giustificazione teorica. L’obiettivo del corso è fornire ai/alle Partecipanti gli strumenti metodologici necessari per formulare sistematicamente modelli di crescita e rimodellamento, proponendo un’interpretazione teorica anche delle leggi fenomenologiche. In particolare, per un dato tessuto e per un dato problema, ci si propone di: (1) definire la cinematica del problema, estendendo il concetto di parametro Lagrangiano ai descrittori della struttura interna del tessuto; (2) identificare e classificare i vincoli cui è soggetto il tessuto, allo scopo di interpretare eventuali leggi fenomenologiche che legano le variazioni dei parametri cinematici ad altre grandezze caratteristiche del tessuto stesso; (3) identificare le forze generalizzate che agiscono sul tessuto e, ove possibile, caratterizzarle costitutivamente; (4) determinare le equazioni dinamiche del sistema in oggetto. Assegnati i vincoli, e determinate le equazioni dinamiche, il corso si propone di fornire criteri che, mediante l’impiego di opportuni princìpi di invarianza (o covarianza), sono volti a stabilire l’ammissibilità delle relazioni che collegano tra loro le variabili di un modello. Infine, viene anche discusso come le trasformazioni strutturali indotte in un tessuto da crescita e rimodellamento influenzano le simmetrie materiali del tessuto stesso e, a tal proposito, le problematiche proposte verranno discusse alla luce del Teorema di Noether.
The course re-elaborates some theoretical aspects of the mechanics of growth and structural reorganisation (remodelling) of biological tissues by proposing an interpretation suggested by Analytical Mechanics and Variational Principles. For this purpose, the contents of the course will be framed in the context of Field Theories, and studied by following a Continuum Mechanics approach, which will be suitably generalised to include chemo-mechanical phenomena. Since growth and remodelling are the results of phenomena of various nature, their investigation necessitates transversal competencies. This leads to an interdisciplinary environment that, although being very fruitful from the scientific point of view, requires to reconcile well-acknowledged physical principles, such as Balance Laws, with phenomenological laws that are introduced ad hoc and that, in spite of being compatible with experimental data, may sometimes lack of a clear theoretical justification. The main goal of the course is to provide the Participants with the methodological instruments necessary for a systematic formulation of the models of growth and remodelling, thereby proposing a theoretical interpretation also of the phenomenological laws. In particular, for a given tissue and for a given problem, the course proposes: (1) To define the problem’s kinematics by extending the concept of Lagrangian parameter to the descriptors of the internal structure of the tissue; (2) To identify and classify the constraints to which the tissue is subjected, in order to interpret possible phenomenological laws that relate the variations of the kinematic parameters with the other physical quantities characterising the tissue itself; (3) To identify the generalised forces acting on the tissue and, if possible, to characterise them constitutively; (4) To determine the dynamic equations of the systems under study. Once the constraints are given, and the dynamic equations are determined, the course aims at supplying criteria that, through the employment of appropriate invariance (or covariance) principles establish the admissibility of the relationships connecting the variables of a model. Finally, it will be discussed how the structural transformations induced in a tissue by growth and remodelling influence the material symmetries of the tissue itself and, for this purpose, the proposed topics will be discussed under the light shed by Noether’s Theorem.
Corsi di basi di Analisi Matematica I e II; Meccanica Razionale (facoltativo).
Basic courses of Mathematical Analysis I and II; Rational Mechanics (optional).
1. Richiami di Meccanica dei Mezzi Continui (5 ore) 1.1. Definizione delle principali grandezze tensoriali usate in Meccanica dei Mezzi Continui. 1.2. Decomposizione di Bilby-Kröner-Lee. 2. Richiami di Meccanica Analitica (5 ore) 2.1. Cinematica, definizione e classificazione dei vincoli. 2.2. Forze generalizzate. Determinazione delle equazioni dinamiche per un problema vincolato. Moltiplicatori di Lagrange. 3. Meccanica della Crescita e del Rimodellamento (10 ore) 3.1. Equazioni della dinamica per un tessuto soggetto a crescita e rimodellamento. 3.2. Princìpi di invarianza per l’ammissibilità delle leggi evolutive. 3.3. Simmetrie materiali e Teorema di Noether.
1. Brief review on Continuum Mechancs (5 hours) 1.1. Definition of the principal tensor quantities employed in Continuum Mechanics. 1.2. Bilby-Kröner-Lee decomposition. 2. Brief review on Analytical Mechanics (5 hours) 2.1. Kinamtics, Definition and classification of kinematic constraints. 2.2. Generalised forces. Determination of the dynamic equations for a constrained system. Lagrange’s multipliers. 3. Mechanics of growth and remodelling (10 hours) 3.1. Dynamic equations for a tissue subjected to growth and remodelling. 3.2. Invariance principles for the admissibility of evolution laws. 3.3. Material symmetries and Noether’s Theorem.
Modalità mista
Mixed mode
Presentazione orale
Oral presentation
P.D.1-1 - Novembre
P.D.1-1 - November
VARIAZIONI DEL TESTO Benché i contenuti del corso siano rimasti invarianti (si tratta, infatti, della riproposizione di un corso già svolto nel 2019), nel testo in Italiano ho modificato "ai Partecipanti" in "ai/alle Partecipanti", per allinearmi alle politiche inclusive del Politecnico di Torino. ALTRI DOTTORATI POTENZIALMENTE INTERESSATI Il corso è potenzialmente di interesse anche per i seguenti altri Dottorati: "Bioingegneria e Scienze Medico-Chirurgiche", "Fisica", "Ing. Aerospaziale", "Ing. Chimica" e "Ing. Meccanica". INTERDISCIPLINARITÀ DEGLI ARGOMENTI Nonostante l'argomento principale del corso è indirizzato alla Biomeccanica teorica, le competenze che si trasmetteranno ai/alle Partecipanti sono impiegabili anche in altri ambiti fisico-matematici ed ingegneristici, quali la caratterizzazione di materiali industriali. BOZZA DEL CALENDARIO DELLE LEZIONI Prima settimana - lunedì 08/11/2021, dalle 10:00 alle 12:00 (2 h); - martedì 09/11/2021, dalle 10:00 alle 13:00 (3 h); - giovedì 11/11/2021, dalle 15:00 alle 18:00 (3 h); - venerdì 12/11/2021, dalle 15:00 alle 17:00 (2 h). Seconda settimana - lunedì 15/11/2021, dalle 10:00 alle 12:00 (2 h); - martedì 16/11/2021, dalle 10:00 alle 13:00 (3 h); - giovedì 18/11/2021, dalle 15:00 alle 18:00 (3 h); - venerdì 19/11/2021, dalle 15:00 alle 17:00 (2 h).
VARIATIONS OF THE TEXT Although the contents of the course remained unchanged (indeed, the present offer proposes again the course already held in 2019), I changed the old Italian text "ai Partecipanti" into "ai/alle Partecipanti", in order to adhere to the inclusive policy of the Politecnico di Torino. OTHER POTENTIALLY INTERESTED PhD PROGRAMS The course is potentially of interest also for the other following PhD Programs: "Bioingegneria e Scienze Medico-Chirurgiche", "Fisica", "Ing. Aerospaziale", "Ing. Chimica" e "Ing. Meccanica". INTERDISCIPLINARITY OF THE TOPICS Although the leading topic of the course is addressed to theoretical Biomechanics, the expertise that will be transferred to the Participants can be employed also in other contexts of mathematical physics and engineering, such as the characterization of industrial materials. DRAFT OF THE SCHEDULE OF THE LECTURES First week - Monday 08/11/2021, from 10:00 to 12:00 (2 h); - Tuesday 09/11/2021, from 10:00 to 13:00 (3 h); - Thursday 11/11/2021, from 15:00 to 18:00 (3 h); - Friday 12/11/2021, from 15:00 to 17:00 (2 h). Second week - Monday 15/11/2021, from 10:00 to 12:00 (2 h); - Tuesday 16/11/2021, from 10:00 to 13:00 (3 h); - Thursday 18/11/2021, from 15:00 to 18:00 (3 h); - Friday 19/11/2021, from 15:00 to 17:00 (2 h).


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