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Sobolev inequalities and applications to a class of elliptic PDE's
01TIVUR
A.A. 2024/25
Course Language
Inglese
Degree programme(s)
Doctorate Research in Scienze Matematiche - Torino
Course structure
| Teaching | Hours |
|---|---|
| Lezioni | 24 |
Lecturers
| Teacher | Status | SSD | h.Les | h.Ex | h.Lab | h.Tut | Years teaching |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Audrito Alessandro | Ricercatore a tempo det. L.240/10 art.24-B | MATH-03/A | 8 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Co-lectures
Context
| SSD | CFU | Activities | Area context | *** N/A *** |
|---|
In questo corso presenteremo alcuni argomenti classici riguardanti le equazioni ellittiche e l'analisi funzionale, con lo scopo di far emergere alcune delle numerose connessioni tra i due campi.
Nella prima parte del corso, calcoleremo la costante ottima per la disuguaglianza di Sobolev nello spazio euclideo e dimostreremo che tale costante è realizzata dalle funzioni di Aubin-Talenti.
La seconda parte è dedicata ad alcune applicazioni alle PDE ellittiche: presenteremo le idee principali del metodo di riduzione di Liapunov-Schmidt (per esempio, nel contesto del problema di Yamabe) e, in connessione a questo, discuteremo il problema di Brezis-Nirenberg.
In this course we will present some classical topics in elliptic PDE and functional analysis, with the goal of highlighting some intrinsic connections such two beautiful fields share.
First, we will compute the best constant for the Sobolev inequality in the whole space and show that it is attained by the Aubin-Talenti functions. The second part of the course is devoted to some applications to the elliptic PDE world: we will present the main ideas behind the Liapunov-Schmidt reduction method (for example, in the context of the Yamabe problem) and, in connection to this, we will discuss the Brezis-Nirenberg problem.
Nozioni di PDE ellittiche e spazi di Sobolev.
Some background in elliptic PDE and Sobolev spaces
- Disuguaglianze di Sobolev con costanti ottimali e funzioni di Aubin-Talenti.
- Il metodo di riduzione di Liapunov-Schmidt: cenni e applicazioni a problemi geometrici.
- Il problema di Brezis-Nirenberg.
- Sobolev inequalities with optimal constants and Aubin-Talenti functions.
- The Liapunov-Schmidt reduction method: main ideas and applications to some geometric problems.
- The Brezis-Nirenberg problem.
In presenza
On site
Presentazione orale - Sviluppo di project work in team
Oral presentation - Team project work development
P.D.1-1 - Novembre
P.D.1-1 - November
Schedule:
6/11 and 20/11, h 13-17, Aula Buzano, DISMA
14/11 and 28/11, h 09-13, Aula Buzano, DISMA
The last two lectures will be fixed later on.