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Projective differential geometry of geodesics

01TTLRT

A.A. 2020/21

Course Language

Italian

Course degree

Doctorate Research in Matematica Pura E Applicata - Torino

Course structure
Teaching Hours
Lezioni 30
Teachers
Teacher Status SSD h.Les h.Ex h.Lab h.Tut Years teaching
Manno Giovanni   Professore Ordinario MAT/03 20 0 0 0 1
Teaching assistant
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Context
SSD CFU Activities Area context
*** N/A ***    
Si introdurranno le basi della Geometria Differenziale Proiettiva delle geodetiche, con particolare attenzione alle simmetrie proiettive infinitesimali (cioè campi vettoriali il cui flusso locale manda geodetiche non-parametrizzate in geodetiche non-parametrizzate), all’equivalenza proiettiva (metriche che ammettono le stesse geodetiche non-parametrizzate) e alla metrizzabilità di strutture proiettive inclusa la loro relazione con i sistemi integrabili (nel senso di Liouville). Il corso tratterà sia la teoria classica che argomenti di ricerca più recente.
The course will give an introduction to the basics of Projective Differential Geometry. In particular, it will cover infinitesimal projective symmetries (i.e. vector fields whose local flow preserves unparametrized geodesics), projective equivalence of pseudo-Riemannian metrics (equivalent metrics share the same unparametrized geodesics), and the metrizability of projective structures including their relationship with integrable systems (in the sense of Liouville). The course will cover both the classical theory and more recent research findings.
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Dopo un breve richiamo dei prerequisiti come le varietà differenziali, connessioni e curve geodetiche, si introdurrà l'equivalenza proiettiva delle connessioni affini e, quindi, le strutture proiettive e le loro proprietà. Si introduranno quindi le simmetrie proiettive infinitesimali (cioè campi vettoriali il cui flusso locale manda geodetiche non-parametrizzate in geodetiche non-parametrizzate) che saranno viste come particolari simmetrie di un certo sistema di ODEs. Si procederà quindi al problema della metrizzabilità di strutture proiettive, che toccherà le geometrie (cioè le metriche) aventi simmetrie proiettive (Problema di Lie). Saranno introdotte varie tecniche che hanno permesso di ottenere le forme normali di tali. Il corso si concluderà con la spiegazione dell'interconnessione tra metrizzabilità e (super-) integrabilità (nel senso di Liouville).
After a brief recapitulation of prerequisites like differentiable manifolds, connections & geodesics, the course will set out to introduce the projective equivalence of affine connections, leading to projective structures whose properties we discuss. We then continue with infinitesimal projective symmetries (i.e. vector fields whose local flow preserves unparametrized geodesics): they can be regarded as particular symmetries of a certain system of ODEs. With these notions at hand, the course will proceed to the the problem of metrizability of projective structures, which will touch geometries (i.e. metrics) with projective symmetries (known as Lie's Problem). Various techniques that have been applied to arrive at normal forms of such metrics will be presented. The course will end with a discussion of the link between metrizability and (super-)integrability (in Liouville's sense).
Modalità mista
Mixed mode
Presentazione orale
Oral presentation
P.D.2-2 - Aprile
P.D.2-2 - April


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