Studiare le curve ellittiche e le loro principali proprietà artimetiche e geometriche, e tutti i concetti necessari alla dimostrazione del teorema di Mordell-Weil.

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- Richiami di geometria algebrica (varietà affini e proiettive, spazio tangente, anello locale; curve algebriche, mappe tra curve, divisori e differenziale); - Equazione di Weierstrass di una curva ellittica, invarianti, forma di Legendre, legge di gruppo; - Isogenie ed endomorfismi; - Richiami di teoria di Galois, gruppi profiniti; il modulo di Tate; - Curve ellittiche su C; - Curve ellittiche su campi finiti; - Buona e cattiva riduzione modulo un primo; - Coomologia di Galois e sequenza di Kummer; - Il teorema di Mordell-Weil debole; - Altezze su spazi proiettivi, la procedura di discesa, dimostrazione del teorema di Mordell-Weil; - Punti interi e teorema di Nutz-Nagell.

Modalità mista

Presentazione orale

P.D.1-1 - Novembre

testi di riferimento: J. Silverman: The Arithmetic of Elliptic curves, Springer, D. Husemoller: Elliptic curves, Springer.