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Curve ellittiche
01TTORT
A.A. 2020/21
Lingua dell'insegnamento
Italiano
Corsi di studio
Dottorato di ricerca in Matematica Pura E Applicata - Torino
Organizzazione dell'insegnamento
| Didattica | Ore |
|---|---|
| Lezioni | 30 |
Docenti
| Docente | Qualifica | Settore | h.Lez | h.Es | h.Lab | h.Tut | Anni incarico |
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Collaboratori
Didattica
| SSD | CFU | Attivita' formative | Ambiti disciplinari | *** N/A *** |
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Studiare le curve ellittiche e le loro principali proprietà artimetiche e geometriche, e tutti i concetti necessari alla dimostrazione del teorema di Mordell-Weil.
The goal of the course is to give an introduction to elliptic curves and to the most important arithmetic and geometric properties of these objects, together with the number theoretic tools needed to prove Mordell-Weil theorem.
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- Richiami di geometria algebrica (varietà affini e proiettive, spazio tangente, anello locale; curve algebriche, mappe tra curve, divisori e differenziale);
- Equazione di Weierstrass di una curva ellittica, invarianti, forma di Legendre, legge di gruppo;
- Isogenie ed endomorfismi;
- Richiami di teoria di Galois, gruppi profiniti; il modulo di Tate;
- Curve ellittiche su C;
- Curve ellittiche su campi finiti;
- Buona e cattiva riduzione modulo un primo;
- Coomologia di Galois e sequenza di Kummer;
- Il teorema di Mordell-Weil debole;
- Altezze su spazi proiettivi, la procedura di discesa, dimostrazione del teorema di Mordell-Weil;
- Punti interi e teorema di Nutz-Nagell.
Summary of general concepts of algebraic geometry (projective and affine varieties, tangent space, local rings, algebraic curves, divisors and differentials);
- Weierstrass equation of an elliptic curve, invariants, Legendre form, group law;
- Isogenies and endomorphisms;
- Summary of Galois theory, profinite groups, Tate module;
- Elliptic curves over C;
- Elliptic curves over finite fields;
- Good and bad reduction modulo primes;
- Galois cohomology and Kummer sequence;
- Weak Mordell-Weil theorem;
- Heights on projective spaces, the descent procedure, proof of Mordell-Weil theorem;
- Integral points and Lutz-Nagell theorem.
Modalità mista
Mixed mode
Presentazione orale
Oral presentation
P.D.1-1 - Novembre
P.D.1-1 - November
testi di riferimento:
J. Silverman: The Arithmetic of Elliptic curves, Springer, D. Husemoller: Elliptic curves, Springer.
testi di riferimento:
J. Silverman: The Arithmetic of Elliptic curves, Springer, D. Husemoller: Elliptic curves, Springer.