Lo scopo del corso è trattare qualche applicazione di risultati di geometria diofantea allo studio dei polinomi lacunari.

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Dopo qualche cenno alla fattorizzazione degli ideali in un dominio di Dedekind e alle valutazioni sui campi di numeri, daremo la definizione di altezza di Weil di numeri algebrici. Si discuterà il problema della sua minorazione. Come applicazione, si presenteranno un algoritmo per la ricerca dei fattori irriducibili di grado limitato di polinomi lacunari in una variabile. Passeremo quindi a discutere analoghi problemi in più' variabili, dopo un'introduzione allo studio del gruppo moltiplicativo G_m^n (sottogruppi algebrici, analogo moltiplicativo della congettura di Manin-Mumford, …). Si presenterà poi una congettura di Schinzel e la sua generalizzazione da parte di Zilber (quest'ultima tutt'ora aperta). Si discuteranno le applicazioni dell'ex-congettura di Schizel al calcolo del massimo comune divisore di polinomi lacunari e, se il tempo lo permette, daremo un cenno alla sua dimostrazione da parte di Bombieri Masser e Zannier. In funzione del tempo disponibile altri risultati verranno eventualmente discussi: ricerca delle radici multiple di un polinomio lacunare, applicazioni (congetturali) di Zilber allo studio di sistemi sovradeterminati di polinomi lacunari; analoghi ciclotomici e torici (Dvornicich-Zannier e Zannier) del teorema d'irriducibilità di Hilbert e del teorema di Bertini e loro applicazioni alla fattorizzazione dei polinomi lacunari

Modalità mista

Presentazione orale

P.D.1-1 - Gennaio