Il Laboratorio di Matematica è un insieme di attività facoltative che il La.M.Po. (Laboratorio di Matematica del Politecnico di Torino) propone agli studenti come occasione per vedere, toccare e fare uso di "oggetti matematici", mostrando il loro legame con la realtà. Lo scopo delle attività è motivare allo studio della Matematica, facendo una esperienza di apprendimento attivo.

Gli studenti dovranno saper studiare in modo autonomo semplici argomenti di matematica legati alla realtà e saperli presentare e discutere.

Non sono richiesti particolari prerequisiti. Ci si aspetta che gli studenti stiano seguendo i corsi del primo anno e che abbiamo voglia di farsi coinvolgere in lezioni interattive e attività di gruppo.

Primo periodo didattico 1. Modellizzare con i colori: il Teorema dei quattro colori e le sue applicazioni (A. Boralevi, R. Raineri) Lunedì 30 settembre ore 16-18.30 aula 6C (English) Mercoledì 2 ottobre ore 16-18.30 aula 6C Venerdì 4 ottobre ore 16-18.30 aula 6C Partendo da qualche cenno intuitivo ai grafi planari, studieremo l'affascinante storia di un problema che ha messo in difficoltà la comunità matematica per più di 100 anni, e analizzeremo insieme alcune interessanti applicazioni. 2. La matematica per gioco (L. Massai) Lunedì 7 ottobre ore 16-18.30 aula 6C (English) Mercoledì 9 ottobre ore 16-18.30 aula 6C Venerdì 11 ottobre ore 16-18.30 aula 6C Come vincere in situazioni di competizione? Quando è meglio cooperare o fare il proprio gioco? La matematica della strategia, della morale e dei conflitti cerca di rispondere a queste ed altre domande grazie all'elegante teoria dei giochi. Durante il laboratorio partiremo dalle sue basi ed arriveremo alle sue applicazioni moderne passando per molti rompicapi interessanti. 3. Riga e compasso: quando i numeri si fanno reali (F. Accossato, F. Ceragioli) Lunedì 14 ottobre ore 16-18.30 aula 6C (English) Mercoledì 16 ottobre ore 16-18.30 aula 6C Venerdì 18 ottobre ore 16-18.30 aula 6C In questo laboratorio cercheremo di capire cosa significa, anche in pratica, che i punti di una retta possono essere identificati con i numeri reali. Per fare questo partiremo da alcune semplici costruzioni con riga e compasso e toccheremo con mano la necessità di andare oltre questi strumenti. 4. Scale logaritmiche e regolo calcolatore (M. Abrate) Lunedì 21 ottobre ore 16-18.30 aula 6C (English) Mercoledì 23 ottobre ore 16-18.30 aula 6C Venerdì 25 ottobre ore 16-18.30 aula 6C In questo laboratorio riscopriremo le idee matematiche che hanno portato all'invenzione del regolo calcolatore e impareremo ad usare questo strumento versatile e potente, che permetteva di effettuare facilmente calcoli complessi e che ha accompagnato per secoli lo sviluppo scientifico, prima di essere definitivamente sostituito dalle calcolatrici elettroniche. 5. La musica di Fourier (S. Canino, A. Festa) Lunedì 4 novembre ore 16-18.30 aula 6C (English) Mercoledì 6 novembre ore 16-18.30 aula 6C Venerdì 8 novembre ore 16-18.30 aula 6C In questo laboratorio analizzeremo il rapporto tra matematica e musica, concentrandoci in particolare sulla costruzione della scala musicale tramite l’utilizzo dello sviluppo di una funzione in serie di Fourier. Questo ci permetterà di confrontare scala pitagorica, scala naturale e temperamento equabile analizzando gli aspetti matematici che consentono di definirle. In aggiunta, attraverso degli appositi software (LogicXPro e MATLAB) mostreremo alcuni elementi base delle moderne tecniche di sound engineering (analizzatori di spettro, tecniche di compressione, sintesi additiva). Agli studenti verranno forniti codici e materiale sviluppato nel corso del laboratorio, per eventualmente allargare la propria esperienza. 6. Biliardi, sistemi dinamici e frattali (M. Morandotti) Lunedì 11 novembre ore 16-18.30 aula 6C (English) Mercoledì 13 novembre ore 16-18.30 aula 6C Venerdì 15 novembre ore 16-18.30 aula 6C In questo laboratorio verrà presentato un percorso trasversale che tocca diverse branche dell’analisi matematica. Si studierà la dinamica di una palla da biliardo che rimbalza sul bordo, partendo dalla modellizzazione fisica, passando per il formalismo matematico e arrivando all’analisi di un sistema dinamico. Verranno presentate alcune situazioni concrete che serviranno per introdurre il concetto di frattale e di analizzarne alcune proprietà. 7. Matematica e parsimonia dell’Universo: problemi di minimo in Natura (L. Lussardi) Lunedì 18 novembre ore 16-18.30 aula 6C (English) Mercoledì 20 novembre ore 16-18.30 aula 6C Venerdì 22 novembre ore 16-18.30 aula 6C La Natura cerca sempre di fare economia. Una delle grosse conquiste della matematica del secolo scorso è stata la comprensione del fatto che attraverso essa è possibile comprendere come molti fenomeni naturali accadano per il semplice motivo che risultano il più conveniente possibile. In questo incontro si vuole proporre agli studenti una serie di esempi di problemi matematici provenienti dalle applicazioni (isoperimetrico, braschistocrona, catenaria, ecc…) formulati in termini di problemi di minimo, mostrando, anche con l’aiuto di esperimenti concreti, che talvolta la soluzione non è quella che uno si aspetta. 8. Aritmetica modulare e crittografia (M. Abrate) Lunedì 2 dicembre ore 16-18.30 aula 6C (English) Mercoledì 4 dicembre ore 16-18.30 aula 6C Venerdì 6 dicembre ore 16-18.30 aula 6C L’obiettivo del laboratorio è quello di far conoscere l’importanza dei numeri primi e la loro importanza nella crittografia. Nella prima parte introdurremo l’aritmetica modulare e, con il semplice utilizzo di carta e penna, analizzeremo particolari insiemi discreti e i relativi grafi. Caratterizzeremo dunque i numeri primi per passare alle applicazioni crittografiche, lasciando agli studenti la possibilità di cifrare e decifrare dei messaggi. 9. Modelli matematici: equazioni prede-predatori e applicazioni in ecologia, finanza e medicina (G. Chiari) Lunedì 9 dicembre ore 16-18.30 aula 6C (English) Mercoledì 11 dicembre ore 16-18.30 aula 6C Venerdì 13 dicembre ore 16-18.30 aula 6C Il laboratorio prevede l'introduzione delle equazioni di Lotka-Volterra (e loro variazioni) e le relative applicazioni in diversi settori. Gli studenti vengono coinvolti nel processo di sviluppo di un modello, a partire dall'osservazione del fenomeno, procedendo con una caratterizzazione delle dinamiche coinvolte e con la formulazione matematica delle stesse. I concetti di derivata, equazioni alle derivate parziali, sistemi dinamici e equilibrio sono introdotti in termini sperimentali e guidano gli studenti alla comprensione dello sviluppo e dello studio di un modello matematico. Agli studenti viene fornito un codice Python che simula i modelli presentati, grazie al quale hanno modo di sperimentare l'effetto dei parametri del modello sulle soluzioni. In particolare, il modello viene usato in termini applicativi per descrivere diversi possibili scenari: - la competizione tra predatori e prede in un ecosistema; - il trasferimento di capitale tra banca madre, sussidiaria e individui/compagnie; - l'interazione tra popolazioni cellulari all'interno di una massa tumorale e gli effetti sull'efficacia delle terapie. 10. Ponti e derivate (A. Borio, F. Ceragioli) Lunedì 16 dicembre ore 16-18.30 aula 6C (English) Mercoledì 18 novembre ore 16-18.30 aula 6C Venerdì 20 novembre ore 16-18.30 aula 6C Qual è la forma dei cavi nei ponti sospesi? Come si può descrivere per mezzo di una funzione? Daremo una risposta a questa domanda scrivendo delle equazioni che coinvolgono le derivate di una funzione. Secondo periodo didattico (le date saranno rese note all’inizio del periodo didattico) 1. Tassellazioni del piano: tra isometrie, opere di Escher e applicazioni fisiche (S. Canino, F. Marcon) La prima parte del laboratorio consisterà nella definizione delle isometrie dl piano tramite l’algebra lineare. Successivamente vedremo una loro applicazione alle tassellazioni del piano ed in particolare analizzeremo il rapporto tra isometrie e tassellazioni del piano fatte da Escher. Nella seconda parte metteremo in evidenza come le tassellazioni del piano vengono utilizzate per risolvere problemi di applicazione ingegneristica, in particolare ci concentreremo sul problema della membrana elastica. 2. Matrice, cuore di internet (E. Ventura, F. Vicini) Cosa hanno a che fare le matrici e internet? Cercheremo di spiegarlo semplicemente, per arrivare a capire uno degli algoritmi che stanno alla base delle nostre ricerche su internet. 3. A first bite on a bit (G. Alfano) Il laboratorio è destinato agli studenti del secondo anno. Prevede un primo approccio alla teoria matematica dell'informazione. L'intervento si struttura come una applicazione di concetti acquisiti durante il corso di metodi matematici per l'ingegneria ed è strutturato in due incontri. In particolare, nel primo incontro si introduce l'informazione associata ad una variabile aleatoria discreta e la corrispondente media statistica (entropia di Shannon). Si introduce altresì il concetto di entropia differenziale, associata ad una variabile aleatoria continua. L'incontro si intende co-costruito con le persone eventualmente partecipanti, a seconda delle loro principali curiosità si andrà nella direzione di definire il concetto di distanza alla Kullback-Leibler, oppure si discuterà qualche semplice esempio di problema a massima entropia. Nel secondo incontro, si introduce il q-bit e si definisce l'entropia di von Neumann. Si discute il parallelo tra distribuzioni a massima entropia di Shannon nel caso classico e stati a massima entropia di von Neumann nel caso quantistico.

Il Laboratorio di Matematica propone dieci diverse attività nel primo semestre e quattro nel secondo, ciascuna della durata di due ore e mezza. Per partecipare lo studente deve iscriversi attraverso la pagine Moodle dell'insegnamento.

Le diapositive e i testi per gli approfondimenti relativi alle attività del laboratorio saranno pubblicati alla fine di ciascuna attività. Si consiglia la lettura del testo: R. Courant e H. Robbins Che cos'è la Matematica? Boringhieri

Slides; Esercitazioni di laboratorio;

Modalità di esame: Accertamento (esame senza voto); Elaborato progettuale individuale; Elaborato progettuale in gruppo;

Exam: Check; Individual project; Group project;

... Lo studente che partecipa attivamente ad almeno quattro degli incontri previsti può chiedere il ricoscimento di un credito formativo. Lo studente dovrà mostrare di saper studiare in modo autonomo semplici argomenti di matematica legati alla realtà e saperli presentare e discutere. Per la prova orale, gli studenti, singolarmente o in gruppo, dovranno concordare un argomento con uno dei docenti e presentarlo ai docenti del laboratorio e ai colleghi.

Gli studenti e le studentesse con disabilità o con Disturbi Specifici di Apprendimento (DSA), oltre alla segnalazione tramite procedura informatizzata, sono invitati a comunicare anche direttamente al/la docente titolare dell'insegnamento, con un preavviso non inferiore ad una settimana dall'avvio della sessione d'esame, gli strumenti compensativi concordati con l'Unità Special Needs, al fine di permettere al/la docente la declinazione più idonea in riferimento alla specifica tipologia di esame.