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Matematica applicata

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A.A. 2020/21

Lingua dell'insegnamento

Italiano

Corsi di studio

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Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (Mechanical Engineering) - Torino
Corso di Laurea in Ingegneria Dell'Autoveicolo (Automotive Engineering) - Torino
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Corso di Laurea in Ingegneria Dell'Autoveicolo - Torino
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Organizzazione dell'insegnamento
Didattica Ore
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Didattica
SSD CFU Attivita' formative Ambiti disciplinari
MAT/07 6 D - A scelta dello studente A scelta dello studente
2018/19
Obiettivo dell’insegnamento è di fornire le conoscenze di matematica applicata atte alla costruzione di un modello matematico differenziale e al suo studio attraverso opportuni metodi matematici. L’insegnamento è un raccordo naturale tra i corsi di matematica di base e i corsi applicativi con fondamento matematico delle lauree specialistiche. La modellistica matematica ha lo scopo di rendere intellegibile, attraverso il rigore del formalismo matematico, la realtà fisica o uno o più fenomeni. I modelli sono sviluppati con esempi specifici e applicazioni in vari campi dell’ingegneria quali ad esempio, aerospaziale (instabilità di flattering e gallopping), ambientale (diffusione di un inquinante), biomedica e bioingegneria (dinamica delle popolazioni e formazioni di strutture in animali e gruppi di entità viventi), civile (vibrazioni trave, traffico veicolare, conduzione del calore), comunicazione ed elettronica (sistemi dinamici di circuiti elettrici, propagazione di un segnale ed equazioni di trasporto), fisica (modelli per sistemi complessi). I metodi matematici permettono di ricavare le soluzioni o effettuare una analisi qualitativa di questi modelli evidenziando così le proprietà, i comportamenti emergenti e i fenomeni previsti.
The main objectives of the course are to provide knowledge of applied mathematics suitable for the study of differential mathematical models, and the related qualitative and computational analysis by means of appropriate mathematical methods. The course is a natural connection between the basic courses of mathematics and the applied courses of master degree with mathematical foundation. The mathematical modeling is designed to make intelligible, through the rigor of the mathematical formalism, the physical reality or one or more phenomena. These models are developed with specific examples and applications in various engineering fields such as, aerospace (instability flattering and gallopping), environmental (diffusion of a pollutant), biomedical and bioengineering (population dynamics and pattern formation in animals and groups of living entities), civil (beam vibrations, traffic, heat conduction), communication and electronics (dynamic systems of electrical circuits, propagation of a signal and transport equations), physics (models for complex systems). The mathematical methods allow to obtain solutions or make a qualitative analysis of these models thus highlighting the properties, emergent behaviors and phenomena expected.
Lo studente acquisirà competenze fisico-matematiche e imparerà a risolvere o trattare qualitativamente modelli differenziali
The student will learn deal with differential mathematical models and to qualitatively solve the related mathematical problems.
Analisi I e II.
Knowledge of the mathematical methodology obtained with courses of Calculus.
Modellistica matematica, scale di rappresentazione, classificazione ed esempi. Modelli matematici alle derivate ordinarie. Metodi risolutivi per problemi lineari. Trasformata di Laplace e applicazioni alle equazioni e ai sistemi di equazioni differenziali lineari del II° ordine a coefficienti costanti. Sistemi non lineari. Spazio delle fasi. Configurazioni di equilibrio. Stabilità. Criterio di stabilità lineare. Stabilità nonlineare e funzionali di Liapunov. Diagrammi di biforcazione. Biforcazione a forchetta, supercritica e subcritica. Esempi e applicazioni (e.g. instabilità di flattering e gallopping per applicazioni di aereodinamica, modello di Malthus e logistico per la dinamica delle popolazioni, circuiti elettrici RCL e oscillatore di Van der Pol). Classificazione dei modelli matematici alle derivate parziali. Equazione di diffusione, derivazione e proprietà della soluzione. Problemi al valore iniziale e al contorno. Metodi risolutivi per problemi lineari e metodo di separazione delle variabili. Esempi e applicazioni (e.g. diffusione inquinante, conduzione del calore). Cenni di equazioni di reazione-diffusione ed applicazioni in biologia (morfogenesi e formazione pattern e strutture in animali e gruppi di entità viventi). Problema stazionario. Equazione di Laplace e equazioni ellittiche (profilo membrana o tamburo). Equazione del trasporto e del bilancio di massa. Problemi ai valori iniziali e al contorno per equazioni del trasporto lineari del primo ordine. Metodo delle caratteristiche e proprietà della soluzione. Equazioni di trasporto nonlineari. Esempi ed applicazioni (e.g. traffico veicolare, propagazione segnali). Cenni di equazioni di convezione-diffusione. Equazione delle onde. Problemi a valori iniziali e al contorno per equazioni iperboliche del secondo ordine. Proprietà della soluzione. Soluzione fondamentale di d’Alambert. Esempi ed applicazioni in domini limitati (e.g. corda vibrante, vibrazione trave).
Mathematical modeling, representation scales, classification and examples. Mathematical models defined in term of the ordinary differential equations. Solution methods for linear problems. Laplace transform and applications to equations and systems of linear differential equations of second order with constant coefficients. Nonlinear systems. Phase space. Equilibrium configurations. Stability. Linear stability criterion. Nonlinear stability and Lyapunov functional. Bifurcation diagrams. Fork bifurcation, supercritical and subcritical bifurcation. Examples and applications (flattering instability and galloping for aerospace applications, Malthus and logistic for population dynamics, electric circuits RCL and Van der Pol equation) Classification of mathematical models defined in terms of partial differential equations. Diffusion equation, derivation and properties of the solution. Initial value problems and boundary value problems. Solution methods for linear problems and method of separation of variables. Examples and applications (polluting diffusion, heat conduction). Reaction-diffusion equations and applications in biology (morphogenesis and pattern formation) Stationary problem. Laplace equation and elliptic equations (drum). Transport equation and conservation laws. Initial and boundary values problems for linear hyperbolic equations of the first order. Method of characteristics and properties of the solution. Nonlinear transport equations of the first order. Examples and applications (vehicular traffic, signal transport). Convection-diffusion equations. Wave equation. Initial and boundary values problems for hyperbolic equations of second order. Properties of the solution. Fundamental solution of d'Alembert. Examples and applications in bounded domains (vibrating string and beam).
In aggiunta alle lezioni teoriche, durante le esercitazioni, agli studenti sono proposti esercizi e problemi applicativi sui seguenti argomenti: Trasformata di Laplace e soluzione di equazioni differenziali lineari Stabilità e biforcazione di sistemi dinamici Metodo di separazione delle variabili per equazioni paraboliche ed iperboliche Metodo delle caratteristiche per equazioni del trasporto Soluzione problemi stazionari
Exercises in classroom will be carried out on these arguments: Laplace transform and solution of linear differential equations Stability and bifurcation of dynamical systems Separation of variables for hyperbolic and parabolic equations Method of characteristics for hyperbolic equations Solution of stationary problems
Appunti in italiano del corso tenuto nell’anno accademico 2013-14 reperibili presso il centro stampa. Ulteriori approfondimenti facoltativi: N. Bellomo, E. De Angelis, M. Delitala, Lecture Notes on Mathematical Modelling in Applied Sciences, SIMAI e-Lecture Notes, 1-148, 2008. htp://cab.unime.it/journals/index.php/lecture/issue/view/5 D. Bazzanella, P. Boieri, L. Caire, A. Tabacco, Serie di funzioni e trasformate - teoria ed esercizi, CLUT, 2001 S. Salsa, C. Pagani, Analisi matematica 2, Zanichelli S. J. Farlow, Partial Differential Equations for Scientists and Engineers, Dover (New York). S. Salsa, F. Vegni, A. Zaretti, P. Zunino, Invito alle Equazioni a Derivate Parziali, Springer Italia, 2009.
Notes in Italian available at the ‘press center’. Further reading: N. Bellomo, E. De Angelis, M. Delitala, Lecture Notes on Mathematical Modelling in Applied Sciences, SIMAI e-Lecture Notes, 1-148, 2008. http://cab.unime.it/journals/index.php/lecture/issue/view/5 D. Bazzanella, P. Boieri, L. Caire, A. Tabacco, Serie di funzioni e trasformate - teoria ed esercizi, CLUT, 2001 S. Salsa, C. Pagani, Analisi matematica 2, Zanichelli S. J. Farlow, Partial Differential Equations for Scientists and Engineers, Dover (New York). S. Salsa, F. Vegni, A. Zaretti, P. Zunino, Invito alle Equazioni a Derivate Parziali, Springer Italia, 2009.
Modalità di esame: prova scritta; prova orale facoltativa;
L’esame consiste in una prova scritta. Qualora lo studente abbia superato lo scritto con un punteggio non inferiore a 18, può sostenere l’orale per cercare di migliorare il punteggio finale dell’esame. L’esame scritto consiste nello svolgimento di diversi esercizi per verificare la capacità di applicare metodi e le tecniche apprese per l’analisi qualitativa e la risoluzione di problemi e modelli differenziali. Esempi di tipologie ricorrenti di esercizi: Risolvere applicando la Trasformata di Laplace il seguente problema differenziale. Dato il seguente sistema dinamico, determinare le configurazioni di equilibrio e la loro stabilità. Risolvere con il metodo delle caratteristiche la seguente PDE del trasporto del I ordine. Applicare la separazione delle variabili per trovare la soluzione della seguente PDE. Determinare la soluzione stazionaria del seguente problema matematico. Gli esercizi comprendono anche un quesito di tipo teorico-concettuale (senza dimostrazioni); esempi di possibili domande sono riportati in seguito. Il tempo massimo a disposizione è di 120 minuti. Durante lo svolgimento dell’esame è consentito tenere esclusivamente un formulario sulle trasformate di Laplace notevoli disponibile sul portale della didattica. Il voto massimo dell’esame scritto è 30. L'esame orale consiste in due o tre domande che includono discussione dello scritto e in particolare degli esercizi non svolti o svolti in maniera errata e alcune domande sul programma svolto. La prova orale modifica il voto dello scritto di massimo + o - 5 punti. Esempi di possibili domande: Trasformata di Laplace e applicazioni. Sistemi dinamici: equilibri e criterio di stabilità lineare. Stabilità nonlineare di sistemi dinamici. Biforcazioni in sistemi dinamici. Classificazione dei modelli matematici alle derivate parziali. Formulazione matematica del problema matematico. Equazione di diffusione e proprietà delle soluzioni. Soluzioni stazionarie di equazioni di diffusione ed equazioni ellittiche. Separazione delle variabili e applicazioni. Leggi di conservazione. Metodo delle caratteristiche. Equazioni del trasporto e proprietà delle soluzioni. Equazione delle onde e proprietà delle soluzioni
Exam: written test; optional oral exam;
The exam consists of a written test. If the student has passed the written with a minimum score of 18, he/she can sustain the oral exam to try to improve the final score of the exam. The written examination consists in solving different exercises to test the ability to apply methods and techniques learned for the qualitative analysis and resolution of problems and differential models. Examples of recurring types of exercises: - Solve, by applying the Laplace transform, the following differential problem. - Given the following dynamic system, determine the equilibrium configurations and their stability. - Solve by the method of characteristics, the following first order PDE transport. - Apply the separation of variables to find the solution of the following PDE. - Determine the stationary solution of the following mathematical problem. The exercises also include a theoretical-conceptual question (without proofs), examples of possible questions are given below. The maximum time available is 120 minutes. The maximal score of the written examination is 30. During the examination it is allowed to keep only a form on Laplace transform available on the web page of the course. The oral examination consists of two or three questions that include discussion of the written exam and in particular the non-performed or performed incorrectly exercises and some questions about the course program. The oral examination may increase or decrease the score of the written examination of 5 points (maximum). Examples of possible questions: - Laplace transform and applications. - Dynamical systems: equilibria and linear stability criterion. - Stability of nonlinear dynamic systems. - Bifurcations in dynamical systems. - Classification of mathematical models of partial derivatives. - Mathematical formulation of the mathematical problem. - Diffusion equation and properties of solutions. - Stationary solutions of diffusion equations and elliptic equations. - Separation of variables and applications. - Conservation laws. - Method of characteristics. - Equations of transport and properties of solutions. - Wave equation and properties of solutions.


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