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Meccanica analitica

02BORNE

A.A. 2020/21

Lingua dell'insegnamento

Italiano

Corsi di studio

Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Meccanica - Torino

Organizzazione dell'insegnamento
Didattica Ore
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Docente Qualifica Settore h.Lez h.Es h.Lab h.Tut Anni incarico
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Didattica
SSD CFU Attivita' formative Ambiti disciplinari
MAT/07 6 D - A scelta dello studente A scelta dello studente
2019/20
L'insegnamento - rivolto a studenti della Laurea Magistrale in Ingegneria Meccanica - è dedicato alla trattazione matematica di sistemi meccanici con un numero finito di gradi di libertà. A partire dalle equazioni del moto, si ottengono le equazioni differenziali alle derivate ordinarie secondo il formalismo di Lagrange o di Hamilton per sistemi olonomi a vincoli perfetti. Una trattazione specifica è dedicata ai vincoli non olonomi, in particolare al vincolo di puro rotolamento nello spazio, e al loro significato geometrico. La seconda parte dell'insegnamento è dedicata all'analisi qualitativa e quantitativa di problemi meccanici, per via analitica o numerica. Vengono introdotti nozioni di stabilità secondo Lyapunov, fenomeni di biforcazione stazionaria o di Hopf e l'emergere di comportamenti caotici. Tutti i sistemi di equazioni studiati nell'insegnamento sono introdotti sulla base di motivati esempi ingegneristici.
The subject - offered to Master students in Mechanical Engineering ("Laurea Magistrale") - is the mathematical formalization of the physics of mechanical systems with a finite number of degrees of freedom. Starting from the equations of motion, one gets the ordinary differential equations that characterize holonomic systems with ideal constraints according to the Lagrangean and Hamiltonian formalism. A specific focus will be devoted to anholonomic systems, in particular on its geometrical interpretation. The second part of the subject deals with the qualitative and quantitative analysis of problems arising in mechanical Engineering by a qualitative and quantitative approach. Basic notions of stability according to Ljapunov will be introduced; steady bifurcation phenomena, Hopf bifurcations and the occurrence of chaotic behavior will be discussed. All the models illustrated during the semester will be introduced on the basis of motivated engineering examples.
Lo studente acquisisce gli strumenti per dedurre e studiare le equazioni differenziali del moto di un sistema meccanico discreto. Utilizzando tali equazioni egli è in grado di determinare gli stati di equilibrio, studiarne la stabilità e prevedere l'evoluzione temporale del sistema, con metodi analitici o effettuando opportune simulazioni numeriche correttamente interpretate.
Attending this subject, students learn to deduce and analyze the time evolution equations of discrete mechanical systems. Exploiting the theory, they can determine the stationary states of the system, along with their stability properties, and they can predict the dynamic behavior in time by means of analytic methods or by using numerical simulations, on the basis of a suitable interpretation.
Fondamenti della meccanica classica ed elementi di teoria delle equazioni differenziali ordinarie. Tali argomenti fanno parte degli insegnamenti di matematica di base della laurea triennale.
Basic notions of Newtonian mechanics and the theory of ordinary differential equations are the necessary background for attending this subject . They are usually taught in the introductory mathematical courses.
1 Richiami di meccanica dei sistemi discreti 1.1 Moto del punto materiale libero e vincolato. 1.2 Matrici ortogonali, rotazioni. 1.3 Moti relativi 1.4 Il corpo rigido, gli angoli di Eulero, cinematica del corpo rigido. 1.5 Il tensore d'inerzia. Le equazioni di bilancio della meccanica per un corpo rigido nello spazio. . 2. Descrizione dei sistemi meccanici con la Meccanica Analitica 2.1. Coordinate generalizzate e spazio delle configurazioni. 2.2 Vincoli olonomi e anolonomi. 2.3. Forze generalizzate. 3 Il Principio dei Lavori Virtuali 3.1. Vincoli perfetti. Il Principio dei Lavori Virtuali. 3.2. Studio dell’equilibrio dei corpi rigidi con il principio dei lavori virtuali. 4. Le Equazioni di Lagrange derivate dal principio dei lavori virtuali. 4.1 Corpo rigido libero, stabilità delle rotazioni attorno ad un asse principale. 4.2 La trottola di Lagrange 4.3 Oscillazioni isocrone di un pendolo nonlineare: tautocrona. 5. Cenni di metodi perturbativi 5.1 Il pendolo di Kapitza. 5.2 Equazione di Duffing. Metodo di Lindstedt-Poincarè. 6. Cenni di calcolo variazionale 6.1 Funzionali e derivata secondo Frechet di un funzionale. 6.2 Brachistocrona. 6.3 Principio di Hamilton. 6.4 Equazioni di Lagrange derivate dal principio di Hamilton. 6.5 Vincoli anolonomi, equazioni di Lagrange per vincoli anolonomi. 6.6 Disco che rotola su un piano, pattino che scivola su un piano inclinato. 7. Sistemi Dinamici 7.1 Il teorema di Cauchy 7.1. Stabilità lineare, classificazione dei punti singolari in 2D. 7.2 Metodo della funzione di Ljapunov. 7.3. Biforcazioni. 7.4 Cicli limite: l'orologio meccanico, l'equazione di Van der Pol. 7.5 Fenomenologia dei moti caotici.
1 Review of the mechanics of discrete systems 1.1 Motion of the free and constrained material point. 1.2 Orthogonal matrices, rotations. 1.3 Relative motions 1.4 The rigid body, Euler angles, kinematics of the rigid body. 1.5 The inertia tensor. The balance equations of mechanics for a rigid body in space. . 2. Description of mechanical systems with Analytical Mechanics 2.1. Generalized coordinates and configuration space. 2.2 Holonomic and non-holonomic constraints. 2.3. Generalized forces. 3 The Principle of Virtual Works 3.1. Perfect constraints. The Principle of Virtual Works. 3.2. Study of the equilibrium of rigid bodies with the principle of virtual works. 4. Lagrange Equations derived from the principle of virtual works. 4.1 Rigid free body, stability of the rotations around a main axis. 4.2 The Lagrange spinning top 4.3 Isochronous oscillations of a nonlinear pendulum: tautochron. 5. Outline of perturbative methods 5.1 Kapitza's pendulum. 5.2 Duffing equation. Lindstedt-Poincarè method. 6. Introduction to variational calculus 6.1 Functional and derived according to Frechet of a functional. 6.2 Brachistocrona. 6.3 Hamilton principle. 6.4 Lagrange equations derived from the Hamilton principle. 6.5 Non-holonomic constraints, Lagrange equations for non-holonomic constraints. 6.6 Disc rolling on a plane, skate sliding on an inclined plane. 7. Dynamic Systems 7.1 The Cauchy theorem 7.1. Linear stability, classification of singular points in 2D. 7.2 Method of the Ljapunov function. 7.3. Bifurcations. 7.4 Limit cycles: the mechanical clock, the Van der Pol equation. 7.5 Phenomenology of chaotic motions.
1 Richiami di meccanica dei sistemi discreti (5 ore di lezione) 2 Descrizione dei sistemi meccanici con la Meccanica Analitica (5 ore di lezione) 3 Il Principio dei Lavori Virtuali (5 ore di lezione + 2 esercitazione) 4. Le Equazioni di Lagrange derivate dal principio dei lavori virtuali (15 ore di lezione + 10 esercitazione) 5. Cenni di metodi perturbativi (10 ore di lezione ) 6. Cenni di calcolo variazionale (10 ore di lezione) 7. Sistemi Dinamici (10 ore di lezione + 8 esercitazione)
1 Background notions on the mechanics of discrete systems (5 hours lesson) 2 The description of mechanical systems of analytical mechanics (5 hours lesson) 3 The principle of virtual works (5 hours lesson + 2 hours exercises) 4. The Lagrange equations (15 hours lessons + 10 exercises) 5. Basic notions and examples of perturbative methods in mechanics (10 hours lessons) 6. Basic notions and example of variational methods in mechanics (10 hours lessons) 7. Dynamical systems (10 hours lessons + 8 exercises)
G.Benettin "Appunti per il corso di Fisica Matematica", 2016-2017 https://www.math.unipd.it/~benettin/links-mecc/dispense.pdf
• C. Lanczos, The Variational Principles of Mechanics, Dover Publications, INC., New York, 4th edition (1970). • N. Bellomo, L. Preziosi, A. Romano, Mechanics and Dynamical Systems with Mathematica®. Birkhäuser, Boston (2000).
Modalità di esame: prova scritta; prova orale obbligatoria;
Prova scritta: della durata indicativa di 1 ora e mezzo, con svolgimento di uno o più esercizi di meccanica lagrangiana o sistemi dinamici. Prova orale: discussione di due domande di teoria tratte dagli argomenti indicati nel programma e svolti a lezione. La valutazione della prova scritta viene fatta immediatamente, contestualmente alla prova orale.
Exam: written test; compulsory oral exam;
Written exam: indicatively 1 hour and half , to solve one or more exercises of Lagrangian Mechanics or Dynamical Systems. Oral exam: explain two subjects of theory so as described in the program and discussed during the lessons. The written exam is discussed with the student immediately after he/she has finished, as an introduction to the oral examination.


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