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PORTALE DELLA DIDATTICA

Equazioni della fisica matematica

02CYTMQ

A.A. 2020/21

Lingua dell'insegnamento

Italiano

Corsi di studio

Corso di Laurea in Matematica Per L'Ingegneria - Torino

Organizzazione dell'insegnamento
Didattica Ore
Docenti
Docente Qualifica Settore h.Lez h.Es h.Lab h.Tut Anni incarico
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Didattica
SSD CFU Attivita' formative Ambiti disciplinari
MAT/07 8 B - Caratterizzanti Formazione modellistico-applicativa
2019/20
L’insegnamento ha come scopo principale quello di fornire agli studenti le conoscenze fondamentali per la deduzione e l’analisi qualitativa dei modelli matematici di interesse per le scienze dell'ingegneria e per le scienze applicate. Si intende trattare il percorso di studio completo: metodi di modellizzazione, classificazione, analisi qualitativa, validazione dei modelli.
The main goal of this course is to present the basic principles of the formulation and of the qualitative analysis of mathematical models appearing in engineering and applied sciences. The main aim is to treat the complete study path: modeling, classification, qualitative analysis, validation of models.
Acquisire capacità relative ai metodi di modellizzazione alla diverse scale (micro-macro) e alla trattazione di problemi di analisi qualitativa dei modelli della Fisica Matematica e delle Scienze Applicate.
To acquire skills in modeling methods at different scales (micro-macro) and in the qualitative analysis of problems of mathematical physics and applied sciences.
Conoscenza degli argomenti trattati nei corsi di base di Analisi matematica I ed Analisi Matematica II, Fisica I e Fisica II, Meccanica Razionale.
Knowledge of the topics covered in Mathematical Analysis I and Mathematical Analysis II, Physics I and Physics II, Rational Mechanics.
Parte prima (4 crediti) Sistemi di equazioni differenziali del primo ordine: sistemi del primo ordine in forma normale e equazioni di ordine n in forma normale. Sistemi lineari di equazioni differenziali ordinarie omogenei e non omogenei a coefficienti costanti. Adimensionalizzazione. Definizione del problema di Cauchy. Risultati di esistenza e di esistenza ed unicità. Soluzioni massimali. Analisi qualitativa. Integrali primi. Regolarità delle soluzioni. Lemma di Gronwall. Dipendenza continua dai dati iniziali. Sistemi autonomi, ritratto di fase e classificazione delle traiettorie. Stabilità e stabilità asintotica di un punto di equilibrio. Funzione di Liapunov e teorema di Liapunov. Bacino di attrazione. Metodo di linearizzazione. Punti iperbolici. Biforcazione dai punti di equilibrio. Biforcazione transcritica, supercritica, subcritica. Cenni sulla biforcazione di Hopf, Teorema di Hopf, ciclo limite. Modelli della meccanica classica e della dinamica di popolazioni. Parte seconda (4 crediti) Equazioni a derivate parziali: deduzione di alcuni esempi notevoli della fisica matematica. Leggi di bilancio. Equazioni del primo ordine. Equazioni del secondo ordine: classificazione e relativi problemi al contorno e di Cauchy. Equazioni iperboliche, ellittiche, paraboliche: derivazione euristica e derivazione microscopica. Studio di alcuni aspetti qualitativi.
First part (4 credits) First order differential systems: first order systems in normal form and equations of order n in normal form. Linear systems, homogeneous and non-homogeneous, with constant coefficients. Dimensional analysis. Definition of the Cauchy problem. Existence anduniqueness. Maximal solutions. Qualitative analysis. First integrals. Regularity of solutions. Gronwall Lemma. Continuous dependence on initial data. Autonomous systems, phase portrait and classification of trajectories. Equilibrium points and their stability. Liapunov function and Liapunov theorem. Basin of attraction. Linearization. Hyperbolic Points. Bifurcation from the equilibrium points. Transcritical, supercritical, subcritical bifurcations. Hopf bifurcation (sketch), Hopf theorem, limit cycles. Models of classical mechanics and dynamics of populations. Second part (4 credits) Partial differential equations: classical examples of mathematical physics. Balance equations. First order equations. Second order equations: classification and related boundary value and Cauchy problems. Hyperbolic, elliptic, parabolic equations: heuristic and microscopic derivation. Qualitative aspects of the solutions.
L’insegnamento consiste in 5 crediti (50 ore) di lezione e 3 crediti (30 ore) di esercitazione. Le esercitazioni hanno principalmente lo scopo di verificare il livello di apprendimento dei concetti esposti nelle ore di lezione, attraverso l’analisi di modelli e lo svolgimento di esercizi.
Theoretical lessons: 5 credits (50 hours), exercises: 3 credits (30 hours). The exercises aim at verifying the learning level of the concepts outlined in class lessons, through model analysis and exercises.
Bibliografia di riferimento: N.Bellomo, E. De Angelis, M. Delitala, Lecture Notes on Mathematical Modelling From Applied Sciences to Complex Systems, SIMAI e-Lecture Notes, Vol. 8, 2010, http://cab.unime.it/journals/index.php/lecture/article/view/576 S. Salsa, Equazioni a derivate parziali: metodi, modelli e applicazioni, Springer, seconda edizione L. C Evans. Partial differential equations, AMS 1998 M. Pulvirenti, Appunti per il corso di Fisica Matematica, http://www1.mat.uniroma1.it/people/pulvirenti/didattica/onde_e_calore.pdf Ulteriori testi per approfondimenti verranno indicati durante lo svolgimento dell’insegnamento stesso. Ulteriore materiale didattico e di supporto verrà illustrato in aula e sarà messo a disposizione di tutti gli studenti iscritti all'insegnamento, tramite la pagina del portale della didattica dedicata.
N.Bellomo, E. De Angelis, M. Delitala, Lecture Notes on Mathematical Modelling From Applied Sciences to Complex Systems, SIMAI e-Lecture Notes, Vol. 8, 2010, http://cab.unime.it/journals/index.php/lecture/article/view/576 S. Salsa, Equazioni a derivate parziali: metodi, modelli e applicazioni, Springer, seconda edizione L. C Evans. Partial differential equations, AMS 1998 M. Pulvirenti, Appunti per il corso di Fisica Matematica, http://www1.mat.uniroma1.it/people/pulvirenti/didattica/onde_e_calore.pdf Further information about textbooks covering the topics of the course will be provided during the course. Further teaching material will be illustrated in the classroom and will be made available to all students through the teaching portal.
Modalità di esame: prova scritta; prova orale facoltativa;
L’esame è volto ad accertare la conoscenza degli argomenti elencati nel programma ufficiale del corso e la capacità autonoma di applicare la teoria ed i relativi metodi di analisi qualitativa ai problemi matematici trattati. Lo scopo è quello di verificare sia il livello di comprensione degli argomenti trattati sia nelle lezioni che nelle esercitazioni, sia la capacità di organizzare tematicamente una esposizione sugli argomenti stessi. La prova di esame consiste in uno scritto con quesiti sia di carattere teorico che sotto forma di esercizi. Ciascuna parte dell’esame corrisponde ad un punteggio in trentesimi indicato nel testo stesso del quesito/esercizio e la somma dei punteggi è pari a 30/30. La lode viene inoltre assegnata nel caso di un elaborato pari a 30/30 che in più presenta rigore espositivo e chiarezza notazionale. La durata della prova di esame è di due ore, durante la quale non è possibile consultare libri, appunti o altro materiale didattico e nessun dispositivo elettronico. I risultati dell’esame vengono pubblicati e resi noti agli studenti tramite il portale della didattica, contestualmente con la data ed il luogo in cui gli studenti possono visionare il compito d’esame e chiedere chiarimenti. E' possibile sostenere una prova orale integrativa (su richiesta dello studente) che può fa variare il voto della prova scritta sia in positivo che in negativo. La prova orale integrativa va sostenuta nell'appello in cui si è sostenuto lo scritto ed è possibile solo se il voto conseguito nella prova scritta è di almeno 18/30.
Exam: written test; optional oral exam;
The goal of the exam is to test the knowledge of the subjects listed in the course's official program and the autonomous ability to apply the theory and the related qualitative analysis methods to the mathematical problems dealt with. The aim is to verify both the level of understanding and the ability to organize a dissertation on the topics. The exam is written and consists of theoretical questions and exercises. Each part of the exam corresponds to a score that is indicated in the text of the question/exercise and the sum of the scores is 30/30. A cum laude mark is assigned in the case of a work scoring 30/30, which in addition exhibits rigor and notational clarity. The duration of the exam is two hours, during which students electronic devices are not allowed. The results of the exam are published and communicated to the students through the didactic portal, along with the date and place for viewing the works. Students can request an optional oral part that can alter both in the positive and in the negative the mark obtained in the written part. The optional oral part can only be requested in the same exam session of the written part. Students can request the optional oral part only if the mark they obtained in the written part is at least 18/30.


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