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PORTALE DELLA DIDATTICA

Equazioni della fisica matematica

02CYTMQ

A.A. 2021/22

Lingua dell'insegnamento

Italiano

Corsi di studio

Corso di Laurea in Matematica Per L'Ingegneria - Torino

Organizzazione dell'insegnamento
Didattica Ore
Docenti
Docente Qualifica Settore h.Lez h.Es h.Lab h.Tut Anni incarico
Collaboratori
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Didattica
SSD CFU Attivita' formative Ambiti disciplinari
MAT/07 8 B - Caratterizzanti Formazione modellistico-applicativa
2020/21
L'insegnamento si propone di introdurre gli studenti ai metodi della Fisica Matematica quali strumenti di modellizzazione matematica rigorosa di fenomeni fisici. Esso si concentra soprattutto sulle equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali, che sono da un lato il linguaggio in cui è formulata la maggior parte delle leggi della fisica e dell’ingegneria e dall'altro uno dei principali strumenti matematici dell’attuale modellistica nelle scienze socio-economiche e della vita.
The aim of the course is to introduce students to methods of Mathematical Physics regarded as tools for rigorous mathematical modelling of physical phenomena. Emphasis will be placed on ordinary differential equations and partial differential equations, which constitute the language in which the majority of laws of physics and engineering are written, and have found extensive application as modelling tools in economics and in the social and life sciences.
Al termine dell’insegnamento gli studenti saranno in grado di: - comprendere la differenza fisico-matematica tra modelli differenziali alle scale microscopica e macroscopica e scegliere la scala di modellizzazione più appropriata per i fenomeni fisici oggetto di studio; - analizzare alcune proprietà qualitative delle soluzioni dei modelli differenziali, quali ad esempio la positività, la limitatezza, il comportamento asintotico, la rappresentabilità tramite opportune formule matematiche; - dare spiegazioni e trarre conclusioni fisicamente rilevanti circa il funzionamento dei sistemi oggetto di studio fondate sulle proprietà matematiche delle equazioni utilizzate per la loro descrizione.
By the end of the course students will be able to: - understand the physical and mathematical difference between microscopic and macroscopic scale models, and choose the most appropriate modelling scale for different physical phenomena; - analyse qualitative properties of the solutions to differential equation models, such as positivity, boundedness, asymptotic behaviour and representability by suitable mathematical formulas; - explain and draw physically sound conclusions on the dynamics of the systems being studied based on the mathematical properties of the equations that are used to model them.
Familiarità con le metodologie di base apprese nei corsi di Analisi Matematica I e II, Geometria, Meccanica razionale, Fisica I e II.
Students are expected to be already familiar with methods and techniques taught in the following courses: Calculus I and II, Geometry, Rational Mechanics, Physics I and II.
1) Modelli alle equazioni differenziali ordinarie i) Sistemi di equazioni differenziali ordinarie lineari e non ii) Teorema di Cauchy di esistenza e unicità delle soluzioni iii) Rappresentazione della soluzione per i sistemi lineari: matrice esponenziale, forma canonica di Jordan, soluzioni fondamentali iv) Comportamento asintotico delle soluzioni: stati di equilibrio, criteri di stabilità degli equilibri per i sistemi lineari, funzioni di Lyapunov, criterio di stabilità in prima approssimazione per i sistemi non lineari 2) Modelli alle equazioni alle derivate parziali i) Leggi di conservazione scalari in una variabile spaziale: derivazione e significato fisico, equazione del trasporto e metodo delle caratteristiche, formulazione debole, problema di Riemann, onde d’urto e condizione di Rankine-Hugoniot, onde di rarefazione, non unicità della soluzione debole e criterio di entropia ii) Sistemi di leggi di conservazione in una variabile spaziale: sistemi lineari, invarianti di Riemann, linearizzazione dei sistemi non lineari e propagazione delle piccole perturbazioni, velocità caratteristiche, onde d’urto e locus di Hugoniot, onde di rarefazione e curve integrali iii) Altre equazioni alle derivate parziali evolutive: equazione delle onde, equazioni paraboliche, metodi di rappresentazione delle soluzioni: trasformata di Fourier, separazione delle variabili, soluzioni di similarità, soluzioni auto-simili, onde viaggianti.
1) Ordinary differential equation (ODE) models i) Systems of linear and nonlinear ODEs ii) Cauchy-Lipschitz theorem iii) Representation of solutions to linear systems: matrix exponential, Jordan normal form, fundamental solutions iv) Asymptotic behaviour of solutions: equilibrium points, stability criteria for linear systems, Lyapunov functions, criterion of stability in the first approximation for nonlinear systems 2) Partial differential equation (PDE) models i) One-dimensional scalar conservation laws: derivation and physical meaning, transport equation and method of characteristics, weak formulation, Riemann problem, shock waves and Rankine-Hugoniot conditions, rarefaction waves, nonuniqueness of weak solutions and entropy methods ii) Systems of one-dimensional conservation laws: linear systems, Riemann invariants, linearisation of nonlinear systems and propagation of small perturbations, characteristic speeds, shock waves and the Hugoniot locus, rarefaction waves and integral curves iii) Other evolution PDEs: wave equation, parabolic equations, solution representation methods (Fourier transform, separation of variables, similarity solutions, self-similar solutions, travelling waves).
L'insegnamento si articola in: - lezioni teoriche frontali (50 ore); - esercitazioni in aula (30 ore). Durante le esercitazioni saranno proposti agli studenti sia la risoluzione di problemi volti all'applicazione diretta dei metodi matematici sviluppati a lezione sia lo studio fisico-matematico di modelli classici e non tratti ad esempio dalla gasdinamica, dalla dinamica delle popolazioni, dall'epidemiologia, dall'ecologia, da contesti socio-economici.
The course will consist of: - lectures (50 hrs); - tutorials (30 hrs). During tutorials students will be exposed to problems requiring both the application of mathematical methods covered in lectures and the physical-mathematical study of classical models not covered in lectures (e.g. models arising in the study of gas dynamics, population dynamics, epidemiology, ecology, economics and in the social sciences).
Non esiste un testo di riferimento ufficiale dell’insegnamento. I docenti renderanno disponibili sul Portale della Didattica gli appunti in presa diretta sia delle lezioni sia delle esercitazioni. I docenti indicheranno inoltre testi di possibile consultazione per specifici argomenti del programma.
No textbooks are required. Lecturers' notes from lectures and tutorials will be made available to students on the Portale della Didattica. During the course, lecturers will also recommend possible textbooks covering specific parts of the programme.
Modalità di esame: Prova orale facoltativa; Prova scritta a risposta aperta o chiusa tramite PC con l'utilizzo della piattaforma di ateneo Exam integrata con strumenti di proctoring (Respondus);
L'esame è costituito da una prova scritta svolta al PC della durata di 120 minuti, finalizzata a verificare le conoscenze teoriche degli studenti e la loro capacità di trattare qualitativamente le equazioni della Fisica Matematica. La prova è strutturata in due parti: - 1a parte: quiz di teoria a risposta chiusa; - 2a parte: esercizi sugli argomenti svolti a lezione e durante le esercitazioni, che comprendono alcune domande con possibili risposte VERO/FALSO. Il punteggio massimo conseguibile con la prova scritta è 31, corrispondente ad una votazione di 30L. L'esame può comprendere anche una prova orale, ad integrazione di quella scritta, su richiesta dello studente se risultato sufficiente allo scritto (votazione non inferiore a 18) o per libera decisione del docente nel caso in cui sia opportuno un approfondimento. La prova orale consiste in domande che possono includere sia la dimostrazione di teoremi sia l’applicazione di tecniche descrittive e risolutive sviluppate durante le lezioni e le esercitazioni. Se richiesta, la prova orale concorre a determinare il voto finale dell’esame insieme con quella scritta. In particolare, essa può comportare sia l'innalzamento sia l'abbassamento del voto conseguito allo scritto senza limiti predefiniti.
Exam: Optional oral exam; Computer-based written test with open-ended questions or multiple-choice questions using the Exam platform and proctoring tools (Respondus);
The examination consists of a 2 hour computer-based written exam, which is intended to assess students' knowledge and understanding of the course content and students' ability to analyse the behaviour of the solutions to equations arising in Mathematical Physics. The examination is divided into two parts: - Part 1: close-ended quiz; - Part 2: problems on contents of lectures and tutorials in the form of TRUE/FALSE questions. The maximum marks in the written exam are 31, with the corresponding grade being 30L. The written exam might be complemented with an oral exam. Students who gain at least 18 marks in the written exam are entitled to ask for an oral exam. The lecturer can also request an oral exam if they need to further assess a student's knowledge. The oral exam consists of questions regarding proofs of theorems and possible applications of methods and techniques covered in lectures and tutorials. If the written exam is complemented with an oral exam, the final grade will depend upon the outcome of both exams. The oral exam may result in an increase or a decrease of the grade corresponding to the outcome of the written exam, with no percentage limitations on the amount of increase or decrease.
Modalità di esame: Test informatizzato in laboratorio; Prova orale facoltativa; Prova scritta a risposta aperta o chiusa tramite PC con l'utilizzo della piattaforma di ateneo Exam integrata con strumenti di proctoring (Respondus);
L'esame è costituito da una prova scritta svolta al PC della durata di 120 minuti, finalizzata a verificare le conoscenze teoriche degli studenti e la loro capacità di trattare qualitativamente le equazioni della Fisica Matematica. La prova è strutturata in due parti: - 1a parte: quiz di teoria a risposta chiusa; - 2a parte: esercizi sugli argomenti svolti a lezione e durante le esercitazioni, che comprendono alcune domande con possibili risposte VERO/FALSO. Il punteggio massimo conseguibile con la prova scritta è 31, corrispondente ad una votazione di 30L. L'esame può comprendere anche una prova orale, ad integrazione di quella scritta, su richiesta dello studente se risultato sufficiente allo scritto (votazione non inferiore a 18) o per libera decisione del docente nel caso in cui sia opportuno un approfondimento. La prova orale consiste in domande che possono includere sia la dimostrazione di teoremi sia l’applicazione di tecniche descrittive e risolutive sviluppate durante le lezioni e le esercitazioni. Se richiesta, la prova orale concorre a determinare il voto finale dell’esame insieme con quella scritta. In particolare, essa può comportare sia l'innalzamento sia l'abbassamento del voto conseguito allo scritto senza limiti predefiniti.
Exam: Computer lab-based test; Optional oral exam; Computer-based written test with open-ended questions or multiple-choice questions using the Exam platform and proctoring tools (Respondus);
The examination consists of a 2 hour computer-based written exam, which is intended to assess students' knowledge and understanding of the course content and students' ability to analyse the behaviour of the solutions to equations arising in Mathematical Physics. The examination is divided into two parts: - Part 1: close-ended quiz; - Part 2: problems on contents of lectures and tutorials in the form of TRUE/FALSE questions. The maximum marks in the written exam are 31, with the corresponding grade being 30L. The written exam might be complemented with an oral exam. Students who gain at least 18 marks in the written exam are entitled to ask for an oral exam. The lecturer can also request an oral exam if they need to further assess a student's knowledge. The oral exam consists of questions regarding proofs of theorems and possible applications of methods and techniques covered in lectures and tutorials. If the written exam is complemented with an oral exam, the final grade will depend upon the outcome of both exams. The oral exam may result in an increase or a decrease of the grade corresponding to the outcome of the written exam, with no percentage limitations on the amount of increase or decrease.


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