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PORTALE DELLA DIDATTICA

Equazioni della fisica matematica

02CYTMQ

A.A. 2021/22

2021/22

Equazioni della fisica matematica

L'insegnamento si propone di introdurre gli studenti e le studentesse ai metodi della Fisica Matematica quali strumenti di modellizzazione matematica rigorosa di fenomeni fisici. Esso si concentra soprattutto sulle equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali, che sono da un lato il linguaggio in cui è formulata la maggior parte delle leggi della fisica e dell'ingegneria e dall'altro uno dei principali strumenti matematici dell'attuale modellistica nelle scienze socio-economiche e della vita.

Equazioni della fisica matematica

The aim of the course is to introduce students to methods of Mathematical Physics regarded as tools for rigorous mathematical modelling of physical phenomena. Emphasis will be placed on ordinary differential equations and partial differential equations, which constitute the language in which the majority of laws of physics and engineering are written, and have found extensive application as modelling tools in economics and in the social and life sciences.

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Al termine dell'insegnamento gli studenti e le studentesse saranno in grado di: - comprendere la differenza fisico-matematica tra modelli differenziali alle scale microscopica e macroscopica e scegliere la scala di modellizzazione più appropriata per i fenomeni fisici oggetto di studio; - analizzare alcune proprietà qualitative delle soluzioni dei modelli differenziali, quali ad esempio la positività, la limitatezza, il comportamento asintotico, la rappresentabilità tramite opportune formule matematiche; - dare spiegazioni e trarre conclusioni fisicamente rilevanti circa il funzionamento dei sistemi oggetto di studio fondate sulle proprietà matematiche delle equazioni utilizzate per la loro descrizione.

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By the end of the course students will be able to: - understand the physical and mathematical difference between microscopic and macroscopic scale models, and choose the most appropriate modelling scale for different physical phenomena; - analyse qualitative properties of the solutions to differential equation models, such as positivity, boundedness, asymptotic behaviour and representability by suitable mathematical formulas; - explain and draw physically sound conclusions on the dynamics of the systems being studied based on the mathematical properties of the equations that are used to model them.

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Familiarità con le metodologie di base apprese nei corsi di Analisi Matematica I e II, Geometria, Meccanica razionale, Fisica I e II.

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Students are expected to be already familiar with methods and techniques taught in the following courses: Calculus I and II, Geometry, Rational Mechanics, Physics I and II.

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1) Modelli alle equazioni differenziali ordinarie ====================================== (i) Sistemi di equazioni differenziali ordinarie lineari e non. (ii) Rappresentazione della soluzione per i sistemi lineari: matrice esponenziale, forma canonica di Jordan. (iii) Comportamento asintotico delle soluzioni: stati di equilibrio, criteri di stabilità degli equilibri per i sistemi lineari, funzioni di Lyapunov, criterio di stabilità in prima approssimazione per i sistemi non lineari. 2) Modelli alle equazioni alle derivate parziali ===================================== (i) Equazione del trasporto lineare e leggi di conservazione scalari in una variabile spaziale: derivazione e significato fisico, metodo delle caratteristiche, formulazione debole, problema di Riemann, onde d'urto e condizione di Rankine-Hugoniot, onde di rarefazione, non unicità della soluzione debole e criterio di entropia, caratterizzazione completa della soluzione di un problema di Riemann con flusso a concavità costante, cenni sul caso di flusso a concavità variabile. (ii) Equazioni del secondo ordine: classificazione delle equazioni lineari (ellittiche, iperboliche, paraboliche), esempi prototipo: equazione di Poisson, equazione delle onde, equazione del calore. (iii) Equazione delle onde: formula di d'Alembert in dimensione 1, regolarità della soluzione del problema di Cauchy sull'intero asse reale, soluzione sulla semiretta positiva con condizione al bordo di Dirichlet o Neumann, soluzione formale per serie in un dominio spaziale limitato di dimensione qualsiasi, metodo dell'energia e unicità della soluzione. (iv) Equazione del calore: derivazione da un processo microscopico di salto, soluzione fondamentale, formula di rappresentazione mediante la soluzione fondamentale, regolarità della soluzione, proprietà della soluzione dell'equazione in un dominio spaziale limitato con condizioni al bordo di Neumann omogenee, soluzione formale per serie in un dominio spaziale limitato di dimensione qualsiasi, unicità della soluzione.

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1) Ordinary differential equation (ODE) models i) Systems of linear and nonlinear ODEs ii) Cauchy-Lipschitz theorem iii) Representation of solutions to linear systems: matrix exponential, Jordan normal form, fundamental solutions iv) Asymptotic behaviour of solutions: equilibrium points, stability criteria for linear systems, Lyapunov functions, criterion of stability in the first approximation for nonlinear systems 2) Partial differential equation (PDE) models i) One-dimensional scalar conservation laws: derivation and physical meaning, transport equation and method of characteristics, weak formulation, Riemann problem, shock waves and Rankine-Hugoniot conditions, rarefaction waves, nonuniqueness of weak solutions and entropy methods ii) Systems of one-dimensional conservation laws: linear systems, Riemann invariants, linearisation of nonlinear systems and propagation of small perturbations, characteristic speeds, shock waves and the Hugoniot locus, rarefaction waves and integral curves iii) Other evolution PDEs: wave equation, parabolic equations, solution representation methods (Fourier transform, separation of variables, similarity solutions, self-similar solutions, travelling waves).

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Equazioni della fisica matematica

L'insegnamento si articola in: - lezioni teoriche frontali (50 ore); - esercitazioni in aula (30 ore). Durante le esercitazioni saranno proposti sia la risoluzione di problemi volti all'applicazione diretta dei metodi matematici sviluppati a lezione sia lo studio fisico-matematico di modelli classici e non tratti ad esempio dalla gasdinamica, dalla dinamica delle popolazioni, dall'epidemiologia, dall'ecologia, da contesti socio-economici.

Equazioni della fisica matematica

The course will consist of: - lectures (50 hrs); - tutorials (30 hrs). During tutorials students will be exposed to problems requiring both the application of mathematical methods covered in lectures and the physical-mathematical study of classical models not covered in lectures (e.g. models arising in the study of gas dynamics, population dynamics, epidemiology, ecology, economics and in the social sciences).

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Non esiste un testo di riferimento ufficiale dell'insegnamento. I docenti renderanno disponibili sul Portale della Didattica gli appunti in presa diretta sia delle lezioni sia delle esercitazioni. Essi indicheranno inoltre testi di possibile consultazione per specifici argomenti del programma.

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No textbooks are required. Lecturers' notes from lectures and tutorials will be made available to students on the Portale della Didattica. During the course, lecturers will also recommend possible textbooks covering specific parts of the programme.

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Modalità di esame: Test informatizzato in laboratorio; Prova orale facoltativa;

Equazioni della fisica matematica

L'esame è costituito da una prova scritta svolta al PC della durata di 120 minuti finalizzata a verificare le conoscenze teoriche degli studenti e delle studentesse e la loro capacità di trattare qualitativamente le equazioni della Fisica Matematica. La prova è strutturata in due parti: - parte 1: quiz di teoria a risposta chiusa; - parte 2: esercizi sugli argomenti svolti a lezione e durante le esercitazioni, che comprendono alcune domande con possibili risposte VERO/FALSO. Il punteggio massimo conseguibile con la prova scritta è 34. Se il punteggio complessivo è maggiore di 30 si adottano le seguenti conversioni: il punteggio 31 è convertito nel voto 30, i punteggi maggiori di 31 sono convertiti nel voto 30L. L'esame può comprendere anche una prova orale ad integrazione di quella scritta. La prova orale può essere richiesta dagli studenti e dalle studentesse, se il risultato dello scritto è sufficiente (votazione non inferiore a 18), o dai docenti nel caso essi ritengano necessario un approfondimento. La prova orale consiste in domande che possono includere sia la dimostrazione di teoremi sia l'applicazione di tecniche descrittive e risolutive sviluppate durante le lezioni e le esercitazioni. Se richiesta, la prova orale concorre a determinare il voto finale dell'esame insieme con quella scritta. In particolare, essa può comportare sia l'innalzamento sia l'abbassamento del voto conseguito allo scritto senza limiti predefiniti.

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Exam: Computer lab-based test; Optional oral exam;

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The goal of the exam is to test the knowledge of the subjects listed in the course's official program and the autonomous ability to apply the theory and the related qualitative analysis methods to the mathematical problems dealt with. The aim is to verify both the level of understanding and the ability to organize a dissertation on the topics. The exam is written and consists of theoretical questions and exercises. Each part of the exam corresponds to a score that is indicated in the text of the question/exercise and the sum of the scores is 30/30. A cum laude mark is assigned in the case of a work scoring 30/30, which in addition exhibits rigor and notational clarity. The duration of the exam is two hours, during which students electronic devices are not allowed. The results of the exam are published and communicated to the students through the didactic portal, along with the date and place for viewing the works. Students can request an optional oral part that can alter both in the positive and in the negative the mark obtained in the written part. The optional oral part can only be requested in the same exam session of the written part. Students can request the optional oral part only if the mark they obtained in the written part is at least 18/30.

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Modalità di esame: Prova orale facoltativa; Prova scritta a risposta aperta o chiusa tramite PC con l'utilizzo della piattaforma di ateneo Exam integrata con strumenti di proctoring (Respondus);

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L'esame è costituito da una prova scritta svolta al PC della durata di 120 minuti finalizzata a verificare le conoscenze teoriche degli studenti e delle studentesse e la loro capacità di trattare qualitativamente le equazioni della Fisica Matematica. La prova è strutturata in due parti: - parte 1: quiz di teoria a risposta chiusa; - parte 2: esercizi sugli argomenti svolti a lezione e durante le esercitazioni, che comprendono alcune domande con possibili risposte VERO/FALSO. Il punteggio massimo conseguibile con la prova scritta è 34. Se il punteggio complessivo è maggiore di 30 si adottano le seguenti conversioni: il punteggio 31 è convertito nel voto 30, i punteggi maggiori di 31 sono convertiti nel voto 30L. L'esame può comprendere anche una prova orale ad integrazione di quella scritta. La prova orale può essere richiesta dagli studenti e dalle studentesse, se il risultato dello scritto è sufficiente (votazione non inferiore a 18), o dai docenti nel caso essi ritengano necessario un approfondimento. La prova orale consiste in domande che possono includere sia la dimostrazione di teoremi sia l'applicazione di tecniche descrittive e risolutive sviluppate durante le lezioni e le esercitazioni. Se richiesta, la prova orale concorre a determinare il voto finale dell'esame insieme con quella scritta. In particolare, essa può comportare sia l'innalzamento sia l'abbassamento del voto conseguito allo scritto senza limiti predefiniti.

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Exam: Optional oral exam; Computer-based written test with open-ended questions or multiple-choice questions using the Exam platform and proctoring tools (Respondus);

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The examination consists of a 2 hour computer-based written exam, which is intended to assess students' knowledge and understanding of the course content and students' ability to analyse the behaviour of the solutions to equations arising in Mathematical Physics. The examination is divided into two parts: - Part 1: close-ended quiz; - Part 2: problems on contents of lectures and tutorials in the form of TRUE/FALSE questions. The maximum marks in the written exam are 31, with the corresponding grade being 30L. The written exam might be complemented with an oral exam. Students who gain at least 18 marks in the written exam are entitled to ask for an oral exam. The lecturer can also request an oral exam if they need to further assess a student's knowledge. The oral exam consists of questions regarding proofs of theorems and possible applications of methods and techniques covered in lectures and tutorials. If the written exam is complemented with an oral exam, the final grade will depend upon the outcome of both exams. The oral exam may result in an increase or a decrease of the grade corresponding to the outcome of the written exam, with no percentage limitations on the amount of increase or decrease.

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Modalità di esame: Test informatizzato in laboratorio; Prova orale facoltativa; Prova scritta a risposta aperta o chiusa tramite PC con l'utilizzo della piattaforma di ateneo Exam integrata con strumenti di proctoring (Respondus);

Equazioni della fisica matematica

L'esame è costituito da una prova scritta svolta al PC della durata di 120 minuti finalizzata a verificare le conoscenze teoriche degli studenti e delle studentesse e la loro capacità di trattare qualitativamente le equazioni della Fisica Matematica. La prova è strutturata in due parti: - parte 1: quiz di teoria a risposta chiusa; - parte 2: esercizi sugli argomenti svolti a lezione e durante le esercitazioni, che comprendono alcune domande con possibili risposte VERO/FALSO. Il punteggio massimo conseguibile con la prova scritta è 34. Se il punteggio complessivo è maggiore di 30 si adottano le seguenti conversioni: il punteggio 31 è convertito nel voto 30, i punteggi maggiori di 31 sono convertiti nel voto 30L. L'esame può comprendere anche una prova orale ad integrazione di quella scritta. La prova orale può essere richiesta dagli studenti e dalle studentesse, se il risultato dello scritto è sufficiente (votazione non inferiore a 18), o dai docenti nel caso essi ritengano necessario un approfondimento. La prova orale consiste in domande che possono includere sia la dimostrazione di teoremi sia l'applicazione di tecniche descrittive e risolutive sviluppate durante le lezioni e le esercitazioni. Se richiesta, la prova orale concorre a determinare il voto finale dell'esame insieme con quella scritta. In particolare, essa può comportare sia l'innalzamento sia l'abbassamento del voto conseguito allo scritto senza limiti predefiniti.

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Exam: Computer lab-based test; Optional oral exam; Computer-based written test with open-ended questions or multiple-choice questions using the Exam platform and proctoring tools (Respondus);

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The examination consists of a 2 hour computer-based written exam, which is intended to assess students' knowledge and understanding of the course content and students' ability to analyse the behaviour of the solutions to equations arising in Mathematical Physics. The examination is divided into two parts: - Part 1: close-ended quiz; - Part 2: problems on contents of lectures and tutorials in the form of TRUE/FALSE questions. The maximum marks in the written exam are 31, with the corresponding grade being 30L. The written exam might be complemented with an oral exam. Students who gain at least 18 marks in the written exam are entitled to ask for an oral exam. The lecturer can also request an oral exam if they need to further assess a student's knowledge. The oral exam consists of questions regarding proofs of theorems and possible applications of methods and techniques covered in lectures and tutorials. If the written exam is complemented with an oral exam, the final grade will depend upon the outcome of both exams. The oral exam may result in an increase or a decrease of the grade corresponding to the outcome of the written exam, with no percentage limitations on the amount of increase or decrease.

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