L'insegnamento si propone come un'introduzione ai metodi della Fisica Matematica quali strumenti di modellizzazione e analisi matematica rigorosa di fenomeni fisici. Esso si concentra soprattutto sulle equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali, che sono da un lato il linguaggio in cui è formulata la maggior parte delle leggi della fisica e dell'ingegneria e dall'altro uno dei principali strumenti matematici dell'attuale modellistica nelle scienze socio-economiche e della vita.

Al termine dell'insegnamento, le studentesse e gli studenti saranno in grado di: - comprendere la differenza matematica e fisica tra modelli differenziali alle scale microscopica e macroscopica e associare la scala di modellizzazione più appropriata ai fenomeni fisici oggetto di studio; - costruire e/o caratterizzare qualitativamente le soluzioni dei modelli differenziali, studiandone proprietà quali ad esempio la positività, la limitatezza, il comportamento asintotico, la rappresentabilità tramite opportune formule; - fornire spiegazioni e trarre conclusioni fisicamente rilevanti circa il funzionamento dei sistemi oggetto di studio fondate sulle proprietà matematiche delle equazioni utilizzate per la loro descrizione.

Familiarità con le metodologie matematiche di base apprese negli insegnamenti di Analisi Matematica I e II, Algebra lineare e Geometria.

1) Modelli alle equazioni differenziali ordinarie ====================================== (i) Sistemi di equazioni differenziali ordinarie lineari e non. (ii) Caratterizzazione delle soluzioni: teoremi di esistenza, unicità e dipendenza continua dai dati; rappresentazione della soluzione per i sistemi lineari mediante la matrice esponenziale e la forma canonica di Jordan. (iii) Comportamento asintotico delle soluzioni: stati di equilibrio, criteri di stabilità degli equilibri per i sistemi lineari, funzioni di Lyapunov, criterio di stabilità in prima approssimazione per i sistemi non lineari. 2) Modelli alle equazioni alle derivate parziali ===================================== (i) Panoramica generale, esempi classici, condizioni iniziali, condizioni al bordo, ordine di un'equazione differenziale alle derivate parziali, equazioni lineari, quasi-lineari, semi-lineari. (ii) Equazione del trasporto lineare e leggi di conservazione scalari in una variabile spaziale: derivazione e significato fisico, metodo delle caratteristiche, formulazione debole, problema di Riemann, onde d'urto e condizione di Rankine-Hugoniot, onde di rarefazione, non unicità della soluzione debole e criterio di entropia, caratterizzazione completa della soluzione di un problema di Riemann con flusso a concavità costante, cenni sul caso di flusso a concavità variabile. (iii) Equazioni del secondo ordine: classificazione delle equazioni lineari (ellittiche, iperboliche, paraboliche), esempi prototipo: equazione di Poisson, equazione delle onde, equazione del calore. (iv) Equazione delle onde: formula di d'Alembert in dimensione 1, regolarità della soluzione del problema di Cauchy sull'intero asse reale, soluzione sulla semiretta positiva con condizione al bordo di Dirichlet o Neumann, soluzione formale per serie in un dominio spaziale limitato di dimensione qualsiasi, metodo dell'energia e unicità della soluzione. (v) Equazione del calore: derivazione da un processo microscopico di salti casuali, soluzione fondamentale, formula di rappresentazione mediante la soluzione fondamentale, regolarità della soluzione, proprietà della soluzione dell'equazione in un dominio spaziale limitato con condizioni al bordo di Neumann omogenee, soluzione formale per serie in un dominio spaziale limitato di dimensione qualsiasi, unicità della soluzione.

L'insegnamento si articola in: - lezioni teoriche frontali (50 ore); - esercitazioni in aula (30 ore). Durante le esercitazioni saranno proposti sia la risoluzione di problemi volti all'applicazione diretta dei metodi matematici sviluppati a lezione sia lo studio fisico-matematico di modelli classici e non tratti ad esempio dalla gasdinamica, dalla dinamica delle popolazioni, dall'epidemiologia, dall'ecologia, da contesti socio-economici.

Benché l'insegnamento non segua un testo specifico, alcuni testi di possibile consultazione sono: 1) per la parte di modelli alle equazioni differenziali ordinarie: - A. Ambrosetti, Appunti sulle equazioni differenziali ordinarie, Springer, 2012; - V. I. Arnold, Ordinary Differential Equations, Springer, 1992; 2) per la parte di modelli alle equazioni alle derivate parziali: - S. Salsa, Equazioni a derivate parziali, Springer, 2016; - L. C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 1998. I docenti renderanno disponibili sul Portale della Didattica gli appunti in presa diretta sia delle lezioni sia delle esercitazioni.

Slides; Esercizi risolti;

Modalità di esame: Prova scritta in aula tramite PC con l'utilizzo della piattaforma di ateneo;

Exam: Computer-based written test in class using POLITO platform;

... L'esame è costituito da una prova scritta svolta al PC della durata di 120 minuti finalizzata a verificare le conoscenze teoriche delle studentesse e degli studenti e la loro capacità di trattare qualitativamente le equazioni della Fisica Matematica. La prova è strutturata in due parti: - parte 1: quiz di teoria a risposta chiusa; - parte 2: esercizi sugli argomenti svolti a lezione e durante le esercitazioni, che comprendono alcune domande con possibili risposte vero/falso. Il punteggio massimo conseguibile con la prova scritta è 34. Se il punteggio complessivo è maggiore di 30 si adottano le seguenti conversioni: il punteggio 31 è convertito nel voto 30, i punteggi maggiori di 31 sono convertiti nel voto 30L.

Gli studenti e le studentesse con disabilità o con Disturbi Specifici di Apprendimento (DSA), oltre alla segnalazione tramite procedura informatizzata, sono invitati a comunicare anche direttamente al/la docente titolare dell'insegnamento, con un preavviso non inferiore ad una settimana dall'avvio della sessione d'esame, gli strumenti compensativi concordati con l'Unità Special Needs, al fine di permettere al/la docente la declinazione più idonea in riferimento alla specifica tipologia di esame.