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Metodi numerici per le equazioni alle derivate parziali

02JNZNG

A.A. 2019/20

Lingua dell'insegnamento

Italiano

Corsi di studio

Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Matematica - Torino

Organizzazione dell'insegnamento
Didattica Ore
Lezioni 50
Esercitazioni in aula 30
Docenti
Docente Qualifica Settore h.Lez h.Es h.Lab h.Tut Anni incarico
Canuto Claudio Professore Ordinario MAT/08 50 0 0 0 14
Collaboratori
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Didattica
SSD CFU Attivita' formative Ambiti disciplinari
MAT/08 8 B - Caratterizzanti Discipline matematiche, fisiche e informatiche
2018/19
Il corso è una introduzione ad alcune metodologie di uso generale per il trattamento numerico di problemi alle derivate parziali, che modellizzano fenomeni di interesse ingegneristico. Particolare accento verrà dato al metodo degli elementi finiti, ai metodi spettrali e ai metodi ai volumi finiti; inoltre, si considerano i metodi iterativi per risolvere sistemi algebrici (lineari e non) di grandi dimensioni. I risultati più rilevanti dal punto di vista teorico saranno dimostrati con rigore qualora le technice di dimostrazione siamo basate su argomenti matematici di ampia applicabilità. Le esercitazioni mirano a addestrare l'allievo all'uso di software matematico per la risoluzione di problemi ai limiti alle derivate parziali.
The course is an introduction to some general methodologies for the numerical treatment of partial differential equations modeling phenomena of engineering interest. The course will focus on Finite Elements, Spectral Methods, Finite Volume methods. Iterative methods for large linear and non-linear systems will be considered. The most relevant results from the theoretical point of view will be rigoroulsy proven when the proofs are based on mathematical arguments of wide applicability. Exercise lesson will introduce the use of mathematical softwares to solve problem governed by partial differential equations.
Lo studente deve acquisire la capacita` di analizzare problemi ingegneristici e scegliere le metodologie di simulazione piu` adeguate per il problema da risolvere. In particolare si richiede la capacita` di scegliere il metodo numerico piu` appropriato, di discutere la buona posizione del problema numerico, la sua stabilita` e la scelta di una mesh e di un passo temporale adeguati alla soluzione cercata. Lo studente deve acquisire la capacità di applicare gli argomenti matematici visti durante il corso per dimostrare risultati fondamentali simili a quelli visti a lezione. Infine si richiede la capacita` di utlizzare strumenti software comuni (Matlab, Freefem++, o librerie C++ di pubblico dominio) per realizzare semplici simulazioni.
The student must acquire the ability to analyze engineering problems and choose the most appropriate simulation methodologies for the problem to be solved. In particular, it is required the ability to choose the most appropriate numerical method, to discuss the good position of the numerical problem, its stability and the choice of a suitable mesh and time-step length for the solution sought. The student must acquire the ability to apply the mathematical arguments seen during the course to demonstrate fundamental results similar to those seen in class. Finally, it is required the ability to use common software tools (Matlab, Freefem++, or C++ free libraries) to perform simple simulations.
Nozioni di base di metodi numerici e di programmazione (Matlab, C, C++ or Python)
Basic knowledge of Numerical Methods and coding (Matlab, C, C++ or Pythn)
Formulazione variazionale di problemi ai valori al bordo per equazioni alle derivate parziali. Esempi. Metodi di Galerkin e Petrov-Galerkin; legami con i metodi di collocazione. Approssimazione di funzioni mediante funzioni polinomiali a tratti; elementi finiti e loro proprietà di approssimazione. Il metodo degli elementi finiti; stabilità, consistenza, convergenza; stime dell'errore a priori e a posteriori; generazione della griglia e adattatività; sistemi algebrici originati da una discretizzazione ad elementi finiti e loro proprietà. Metodi spettrali e loro proprieta. Metodi di Fourier, Chebishev, Legendre. Uso delle trasformate tra spazio fisico e spazio delle frequenze. Metodo agli elementi spettrali. Leggi di conservazione e metodi ai volumi finiti. Consistenza e stabilita'. Numero di Courant e condizione CFL. Diffusione e dispersione numerica. Metodi iterativi per sistemi algebrici di grandi dimensioni; precondizionamento; metodi di tipo gradiente e di tipo Lanczos; metodi multilivello. Esempi.
Boundary value problems for partial differential equations Galerkin and Petrov-Galerkin methods; link with collocation methods. Approximation of functions through piecewise polynomial functions; finite elements and their approximation properties. Finite element methods; stability, consistence, and convergence; a priori and a posteriori error estimates; grid generation and adaptivity; algebraic systems deriving from finite element discretization. Spectral methods and their properties. Fourier, Chebishev, and Legendre methods. Spectral element methods. Conservation laws and finite volume methods. Consistence and stability. Courant number and CFL condition. Numerical diffusion and dispersion. Iterative methods for high dimensional algebraic systems; preconditioning; gradient methods and Lanczos-like methods; multilevel methods. Examples.
Le lezioni in aula esporranno i concetti fondamentali e talvolta mostreranno l'applicazione pratica dei metodi descritti dal punto di vista teorico. Le esercitazioni mirano a addestrare l'allievo all'uso di software matematico (Matlab, C++) per la risoluzione di problemi ai limiti alle derivate parziali.
Classroom lectures will expose the basic concepts and sometimes show the practical application of the methods described from the theoretical point of view. Exercises will be aimed at training the student in the use of mathematical software (Matlabm C++) for the solution initial-boundary value problems for partial differential equations.
P.A: Raviart e J.M. Thomas, Introduzione all'analisi numerica delle equazioni alle derivate parziali, Masson, Milano 1988. A. Quarteroni, Modellistica Numerica per Problemi Differenziali, Springer-Verlag, 2016 A. Quarteroni and A. Valli, Numerical Approximation of Partial Differential Equations, Springer, Berlin 1997. A. Greenbaum, Iterative methods for solving linear systems, SIAM, Philadelphia, 1997.
P.A: Raviart e J.M. Thomas, Introduzione all'analisi numerica delle equazioni alle derivate parziali, Masson, Milano 1988. A. Quarteroni, Numerical Models for Differential Problems, Springer-Verlag, 2017 A. Quarteroni and A. Valli, Numerical Approximation of Partial Differential Equations, Springer, Berlin 1997. A. Greenbaum, Iterative methods for solving linear systems, SIAM, Philadelphia, 1997.
Modalità di esame: prova orale obbligatoria; elaborato scritto prodotto in gruppo; progetto di gruppo;
L'esame si compone di una prova orale su tutti gli argomenti affrontati durante il corso e di una discussione individuale dei risultati riportati in un elaborato prodotto sulla base dei risultati delle esercitazioni o in un progetto prodotto in gruppo (max 3 persone). L'orale consta generalmente di due domande sulla parte teorica ed una sulla discussione dell'elaborato. Il peso delle domande nella formazione del voto è approssimativamente paritario. La prova d'esame ha una durata compresa approssivamente tra 45 e 60 minuti. Le valutazioni sono espresse in trentesimi e l’esame è superato se la votazione riportata è di almeno 18/30. La valutazione massima è 30 e lode. Durante lo svolgimento dell'esame riguardante le domande teoriche non è consentito tenere e consultare quaderni, libri, fogli con esercizi, formulari. Durante la discussione dell'elaborato o del progetto lo studente può avvalersi dello stesso e dei codici sviluppati per la sua redazione.
Exam: compulsory oral exam; group essay; group project;
The exam consists of an oral test on all the topics covered during the course and an individual discussion of the results reported in an report on the results of the exercise lessons or in a project produced in a group (max 3 people). The oral exam generally consists of two questions on the theoretical part and one on the discussion of the project. The weight of the questions in the formation of the exam grade is approximately equal. The exam will last approximately 45 to 60 minutes. The exam grades are expressed in thirtieths and the exam is passed if the score is at least 18/30. The maximum grade is 30 cum laude. During the examination of the theoretical part it is not allowed to keep and consult notebooks, books, sheets with exercises. During the discussion of the project the student can use it and the codes developed for its preparation.


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