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Metodi numerici per le equazioni alle derivate parziali

02JNZNG

A.A. 2023/24

Lingua dell'insegnamento

Italiano

Corsi di studio

Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Matematica - Torino

Organizzazione dell'insegnamento
Didattica Ore
Docenti
Docente Qualifica Settore h.Lez h.Es h.Lab h.Tut Anni incarico
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Didattica
SSD CFU Attivita' formative Ambiti disciplinari
MAT/08 8 B - Caratterizzanti Discipline matematiche, fisiche e informatiche
2022/23
Il corso è una introduzione ad alcune metodologie di uso generale per il trattamento numerico di problemi alle derivate parziali, che modellizzano fenomeni di interesse ingegneristico. Particolare accento verrà dato al metodo degli elementi finiti, sia nei suoi aspetti matematici sia in quelli implementativi. Verranno trattati anche metodi alle differenze finite in geometrie semplici, e metodi spettrali di Fourier in condizioni periodiche. Alcuni dei risultati più rilevanti dal punto di vista teorico saranno dimostrati con rigore, degli altri verrà fornita una evidenza numerica. Le esercitazioni mirano a addestrare l'allievo allo sviluppo e all'uso di software matematico per la risoluzione di problemi ai limiti alle derivate parziali.
The course is an introduction to some general methodologies for the numerical treatment of partial differential equations modeling phenomena of engineering interest. The course will focus on the finite element method, both in its theoretical aspects and in the implementation techniques. The course will also provide an introduction to finite difference methods in simple geometries, and to Fourier spectral methods for periodic boundary conditions. Some of the most relevant results from the theoretical point of view will be rigorously proven, for other results a numerical evidence will be provided. The exercise lesson will train the students to produce and use mathematical software to solve problems governed by partial differential equations.
Lo studente deve acquisire la capacita` di analizzare problemi ingegneristici e scegliere le metodologie di simulazione piu` adeguate per il problema da risolvere. In particolare si richiede la capacita` di scegliere il metodo numerico piu` appropriato, di discutere la buona posizione del problema numerico, la sua stabilita` e la scelta di una mesh e di un passo temporale adeguati alla soluzione cercata. Lo studente deve acquisire la capacità di applicare gli argomenti matematici visti durante il corso per dimostrare risultati fondamentali simili a quelli visti a lezione. Infine si richiede la capacita` di utlizzare strumenti software comuni (Matlab, Freefem++, o librerie C++ di pubblico dominio) per realizzare semplici simulazioni.
The student must acquire the ability to analyze engineering problems and choose the most appropriate simulation methodologies for the problem to be solved. In particular, it is required the ability to choose the most appropriate numerical method, to discuss the good position of the numerical problem, its stability and the choice of a suitable mesh and time-step length for the solution sought. The student must acquire the ability to apply the mathematical arguments seen during the course to demonstrate fundamental results similar to those seen in class. Finally, it is required the ability to use common software tools (Matlab, Freefem++, or C++ free libraries) to perform simple simulations.
Nozioni di base di metodi numerici e di programmazione (Matlab, C, C++ or Python)
Basic knowledge of Numerical Methods and coding (Matlab, C, C++ or Pythn)
- Formulazione variazionale di problemi ai valori al bordo per equazioni alle derivate parziali. Esempi. Metodi di Galerkin e Petrov-Galerkin; lemma di Cea e sue applicazioni; stabilità, consistenza, convergenza. (10h) - Approssimazione di funzioni mediante funzioni polinomiali a tratti; elementi finiti e loro proprietà di approssimazione. (10h) - Il metodo degli elementi finiti nella discretizzazione di problemi ellittici e parabolici. Stime dell'errore a priori e a posteriori. (20h) - Gestione della generazione della griglia e adattatività. Costruzione delle matrici di rigidezza e di massa (20h) - Sistemi algebrici originati da una discretizzazione ad elementi finiti e loro proprietà. (10h) - Formule di derivazione numerica; discretizzazione di problemi ellittici mediante differenze finite in geometrie semplici. Metodi spettrali di Fourier e loro proprieta'. Uso delle trasformate tra spazio fisico e spazio delle frequenze. Metodo agli elementi spettrali. (10h)
Boundary value problems for partial differential equations Galerkin and Petrov-Galerkin methods; link with collocation methods. Approximation of functions through piecewise polynomial functions; finite elements and their approximation properties. Finite element methods; stability, consistence, and convergence; a priori and a posteriori error estimates; grid generation and adaptivity; algebraic systems deriving from finite element discretization. Spectral methods and their properties. Fourier, Chebishev, and Legendre methods. Spectral element methods. Conservation laws and finite volume methods. Consistence and stability. Courant number and CFL condition. Numerical diffusion and dispersion. Iterative methods for high dimensional algebraic systems; preconditioning; gradient methods and Lanczos-like methods; multilevel methods. Examples.
Le lezioni in aula esporranno i concetti fondamentali e talvolta mostreranno l'applicazione pratica dei metodi descritti dal punto di vista teorico. Le esercitazioni mirano a addestrare l'allievo all'uso di software matematico (Matlab, C++) per la risoluzione di problemi ai limiti alle derivate parziali.
Classroom lectures will expose the basic concepts and sometimes show the practical application of the methods described from the theoretical point of view. Exercises will be aimed at training the student in the use of mathematical software (Matlabm C++) for the solution initial-boundary value problems for partial differential equations.
P.A: Raviart e J.M. Thomas, Introduzione all'analisi numerica delle equazioni alle derivate parziali, Masson, Milano 1988. A. Quarteroni, Modellistica Numerica per Problemi Differenziali, Springer-Verlag, 2016 A. Quarteroni and A. Valli, Numerical Approximation of Partial Differential Equations, Springer, Berlin 1997. A. Greenbaum, Iterative methods for solving linear systems, SIAM, Philadelphia, 1997.
P.A: Raviart e J.M. Thomas, Introduzione all'analisi numerica delle equazioni alle derivate parziali, Masson, Milano 1988. A. Quarteroni, Numerical Models for Differential Problems, Springer-Verlag, 2017 A. Quarteroni and A. Valli, Numerical Approximation of Partial Differential Equations, Springer, Berlin 1997. A. Greenbaum, Iterative methods for solving linear systems, SIAM, Philadelphia, 1997.
Modalità di esame: Prova orale obbligatoria; Elaborato scritto prodotto in gruppo;
Exam: Compulsory oral exam; Group essay;
L'esame si compone di una prova orale su tutti gli argomenti affrontati durante il corso e di una discussione individuale dei risultati riportati in un elaborato prodotto sulla base dei risultati delle esercitazioni o in un progetto prodotto in gruppo (max 3 persone). L'orale consta generalmente di due domande sulla parte teorica ed una sulla discussione dell'elaborato. Il peso delle domande nella formazione del voto è approssimativamente paritario. La prova d'esame ha una durata compresa approssivamente tra 45 e 60 minuti. Le valutazioni sono espresse in trentesimi e l’esame è superato se la votazione riportata è di almeno 18/30. La valutazione massima è 30 e lode. Durante lo svolgimento dell'esame riguardante le domande teoriche non è consentito tenere e consultare quaderni, libri, fogli con esercizi, formulari. Durante la discussione dell'elaborato o del progetto lo studente può avvalersi dello stesso e dei codici sviluppati per la sua redazione.
Gli studenti e le studentesse con disabilità o con Disturbi Specifici di Apprendimento (DSA), oltre alla segnalazione tramite procedura informatizzata, sono invitati a comunicare anche direttamente al/la docente titolare dell'insegnamento, con un preavviso non inferiore ad una settimana dall'avvio della sessione d'esame, gli strumenti compensativi concordati con l'Unità Special Needs, al fine di permettere al/la docente la declinazione più idonea in riferimento alla specifica tipologia di esame.
Exam: Compulsory oral exam; Group essay;
The exam consists of an oral test on all the topics covered during the course and an individual discussion of the results reported in an report on the results of the exercise lessons or in a project produced in a group (max 3 people). The oral exam generally consists of two questions on the theoretical part and one on the discussion of the project. The weight of the questions in the formation of the exam grade is approximately equal. The exam will last approximately 45 to 60 minutes. The exam grades are expressed in thirtieths and the exam is passed if the score is at least 18/30. The maximum grade is 30 cum laude. During the examination of the theoretical part it is not allowed to keep and consult notebooks, books, sheets with exercises. During the discussion of the project the student can use it and the codes developed for its preparation.
In addition to the message sent by the online system, students with disabilities or Specific Learning Disorders (SLD) are invited to directly inform the professor in charge of the course about the special arrangements for the exam that have been agreed with the Special Needs Unit. The professor has to be informed at least one week before the beginning of the examination session in order to provide students with the most suitable arrangements for each specific type of exam.
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