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PORTALE DELLA DIDATTICA

Metodi Variazionali e Applicazioni

02SODNG

A.A. 2019/20

Lingua dell'insegnamento

Italiano

Corsi di studio

Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Matematica - Torino

Organizzazione dell'insegnamento
Didattica Ore
Lezioni 50
Esercitazioni in aula 30
Docenti
Docente Qualifica Settore h.Lez h.Es h.Lab h.Tut Anni incarico
Tilli Paolo Professore Ordinario MAT/05 50 10 0 0 2
Collaboratori
Espandi

Didattica
SSD CFU Attivita' formative Ambiti disciplinari
MAT/05
MAT/07
6
2
B - Caratterizzanti
B - Caratterizzanti
Discipline matematiche, fisiche e informatiche
Discipline matematiche, fisiche e informatiche
2019/20
Il corso ha l'obiettivo di fornire agli studenti gli strumenti matematici di base del Calcolo delle Variazioni, per la corretta impostazione di problemi di minimizzazione e ottimizzazione. Particolare attenzione verrà data a questioni riguardanti l'esistenza delle soluzioni e la loro caratterizzazione tramite condizioni necessarie per l'ottimalità, quali le equazioni di Eulero-Lagrange. Verrà inoltre mostrato come numerosi problemi, pur non nascendo inizialmente dalla minimizzazione di un funzionale, possono essere inquadrati in un contesto variazionale, presentando in tal modo il Calcolo delle Variazioni come uno strumento utile per la risoluzione di problemi di natura molto diversa. Oltre a princìpi e tecniche generali, verranno presentati e discussi numerosi esempi e applicazioni di tipo fisico-matematico, tra cui le applicazioni ai problemi di Sturm-Liouville e al Principio di Minima Azione in meccanica. In particolare, verrà mostrata e discussa l’efficacia dell’approccio variazionale nella modellizzazione, formalizzazione e caratterizzazione di problemi fisici e ingegneristici, fornendo agli Studenti alcuni elementi essenziali per "leggere" i problemi proposti in chiave variazionale. A tal proposito, saranno studiati problemi tratti dalla Meccanica e dall’Elettromagnetismo e, per ciascuno dei casi studiati, si dedurranno le equazioni che ne descrivono l’evoluzione temporale e/o spaziale, nonché le eventuali leggi di conservazione.
The course aims to provide the students with the basic mathematical tools of the Calculus of Variations, for the correct formulation of minimization and optimization problems. Particular attention will be paid to questions regarding the existence of solutions and their characterization by means of conditions necessary for optimality, such as the Euler-Lagrange equations. It will also be shown how several problems, initially not related to the minimization of any functional, can indeed be framed in a variational setting, thus presenting the Calculus of Variations as a useful tool in the solution of problems of quite different nature. In addition to general principles and techniques, numerous examples and applications from mathematical physics shall be presented and discussed: among them, we mention the applications to Sturm-Liouville problems and to the Principle of Least Action in mechanics. In particular, the effectiveness of the variational approach will be shown and discussed, for what concerns modelling, formalizing and characterizing physical and engineering problems, furnishing some essential tools useful to interpret the discussed problems from a variational point of view. With this respect, some problems will be discussed from mechanics and electromagnetism and, for each of them, the equations governing their spatial or time evolution will be derived, together with the respective conservation laws.
Conoscenza dei principi generali del Calcolo delle Variazioni, tra cui in particolare il Metodo Diretto, i concetti di semicontinuità e coercività, la forma debole e forte delle equazioni di Eulero-Lagrange, e le principali forme di condizioni al bordo (Dirichlet, Neumann, miste). Capacità di impostare in modo rigoroso un tipico problema di minimizzazione, scegliendo un opportuno spazio funzionale che tenga conto della crescita del funzionale e delle eventuali condizioni al bordo. Capacità di applicare la teoria generale a problemi specifici: in particolare, saper discutere l’esistenza di una soluzione per un problema di minimizzazione, e saper ricavare le condizioni di ottimalità da essa verificate.
Knowledge of the general principles of the Calculus of Variations, in particular the Direct Method, the notions of semicontinuity and coercivity, the weak and strong forms of the Euler-Lagrange equations, and the main kinds of boundary conditions (Dirichlet, Neuman, mixed). Ability to formulate in a rigorous way a typical minimization problem, choosing a suitable function space that takes into account the growth of the functional and the prescribed boundary conditions. Ability to apply the general theory to a specific problem: in particular, the ability to discuss the existence of a solution to a minimization problem, and obtain the optimality conditions satisfied by the minimizers.
Si presuppone la conoscenza degli argomenti trattati negli insegnamenti di Analisi Matematica I e II, Geometria, e Analisi Funzionale.
Students are expected to be familiar with the topics of the following courses: Mathematical Analysis I and II, Geometry, Functional Analysis.
Presentazione e impostazione di alcuni problemi classici: isoperimetri, brachistocrona, catenaria e superfici di rotazione di area minima. Cenni storici: il Principio di Dirichlet e il controesempio di Weierstrass. L'approccio moderno tramite compattezza e semicontinuità: il "metodo diretto" e il ruolo della convessità. Caratterizzazione della convergenza debole negli spazi Lp e di Sobolev. Il quoziente di Rayleigh e applicazioni agli autovalori. Problemi di tipo Sturm-Liouville. Differenti tipi di condizioni al contorno: Dirichlet, Neumann o miste. Derivata di Gateaux. Condizioni di ottimalità ed equazioni di Eulero-Lagrange. Applicazioni alle equazioni differenziali. Gli spazi di Sobolev come ambiente naturale. Soluzioni classiche e soluzioni deboli. Cenni sulla regolarità nel caso unidimensionale, e ritorno alla soluzione classica. Applicazioni alla meccanica e Principio di Minima Azione. Cenni di applicazioni alle equazioni alle derivate parziali. Le equazioni di Laplace e di Poisson. Problemi vincolati e moltiplicatori di Lagrange. Ulteriori esempi e applicazioni, e studio dettagliato di alcuni esempi specifici. Approccio variazionale a problemi meccanici: sistemi oscillanti con e senza termini dissipativi e/o forzanti; trave elastica sottoposta a flessione; cenni alla Teoria della Elasticità non lineare. Approccio variazionale a problemi elettromagnetici: deduzione delle equazioni di Maxwell dal Principio di Azione Stazionaria; deduzione variazionale della forza di Lorentz; funzione di Lagrange ed equazioni dinamiche di alcuni circuiti elettrici costituiti da resistori, induttori e condensatori.
Introduction and statement of some classical problems: isoperimeters, brachistochrone, catenary, revolution surfaces of minimal area. Historical background: the Dirichlet Principle and the counterexample of Weierstrass. The modern approach via compactness and semicontinuity: the "direct method" and the role of convexity. Characterization of weak convergenxe in Lp and Sobolev spaces. The Rayleigh quotient and applications to eigenvalues. Sturm-Liouville problems. Different kinds of boundary conditions: Dirichlet, Neumann and mixed. Gateuax derivative. Optimality conditions and Euler-Lagrange equations. Applications to differential equations. Sobolev spaces as a natural environment. Classical and weak solutions. Regularity in the one-dimensional case, and return to a classical solution. Applications to mechanics and the Principle of Minimal Action. Some applications to partial differential equations. Laplace and Poisson equations. Constrained problems and Lagrange multipliers. Further examples and applications, and detailed study of some specific examples. Variational approach to mechanical problems: vibrating systems with or without dissipation and forcing terms; elastic beam with bending; elements of nonlinear elasticity. Variational approach to electromagnetic problems: Maxwell's equations as a consequence of the Minimum Action Principle; the Lorenz force from a variational point of view; Lagrange function and dynamical equations of some electric circuits made up of resistors, inductors and condensers.
Il corso consta di lezioni (50 ore) ed esercitazioni in aula (30 ore), per un totale di 80 ore. Le lezioni sono dedicate alla presentazione degli argomenti del programma del corso con definizioni, proprietà ed alcune dimostrazioni ritenute utili per una migliore comprensione degli argomenti e per fornire gli strumenti necessari per sviluppare capacità di ragionamento logico-deduttivo da parte dello studente. Ogni argomento teorico trattato nelle lezioni viene arricchito da esempi introduttivi. Le ore di esercitazione sono dedicate allo svolgimento di esercizi e alla discussione di ulteriori esempi, allo scopo principale di preparare lo studente alla prova di esame.
The course consists of lessons (50 hours) and exercise classes (30 hours), for a total amount of 80 hours. Theoretical lessons are devoted to the presentation of the topics, with definitions, properties and the proofs which are believed to facilitate the learning process. Every theoretical aspect is associated with introductory examples. The exercise hours are devoted to the analysis and the methods required for solving exercises and to the discussion of further examples, with the aim of preparing the student to the exam.
Saranno rese disponibili a portale delle dispense preparate appositamente per il corso.
Notes of the course will be made available on the web portal.
Modalità di esame: prova orale obbligatoria; elaborato scritto prodotto in gruppo;
L’esame, che consiste in una prova orale, ha l’obiettivo di accertare la conoscenza degli argomenti trattati nel corso e la capacità di applicare la teoria generale alla risoluzione di esercizi, sul modello degli esercizi e degli esempi illustrati durante le lezioni e le esercitazioni del corso. Durante l'orale sarà anche possibile discutere un elaborato, preparato in precedenza dagli studenti in gruppi di tre o quattro, nel quale viene risolto in dettaglio un problema variazionale assegnato durante il corso.
Exam: compulsory oral exam; group essay;
The exam, which will be oral, will test the knowledge of the topics of the course, and the ability to apply the general theory to the solution of exercises, along the lines of the exercises and the examples illustrated during classes. During the oral exam it will be possible to discuss a written report, previously prepared by the students in groups of three or four, containing the detailed solution of a variational problem assigned during the course.


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