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Sistemi nonlineari per l'ingegneria

03QNMNG

A.A. 2023/24

Lingua dell'insegnamento

Italiano

Corsi di studio

Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Matematica - Torino

Organizzazione dell'insegnamento
Didattica Ore
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Didattica
SSD CFU Attivita' formative Ambiti disciplinari
ING-IND/31 6 B - Caratterizzanti Discipline ingegneristiche
2022/23
Lo sviluppo della teoria matematica dei sistemi dinamici e' motivato, oltre che dal suo fascino concettuale e dalla sua geometrica eleganza, dal ruolo fondamentale che svolge nell'analisi e nel controllo dei fenomeni non lineari, della complessità del caos deterministico. I modelli non lineari sono inoltre fondamentali per la comprensione delle tecniche avanzate di "machine learning" e "deep learning" basate su reti neurali artificiali. La prima parte del corso ha per tema la stabilita' nel senso di Liapunov; si tratta di uno dei concetti piu' semplici, ma basilari della teoria dei sistemi dinamici, del quale vengono messi in luce sia gli aspetti topologici che quelli differenziali. Oltre al metodo delle funzioni di Liapunov, viene presentato il metodo della varieta' centrale. Tra i contenuti, sono inclusi i metodi di linearizzazione, la stabilita' strutturale, un accenno alla teoria delle biforcazioni dell'equilibrio nei casi piu' elementari e i sistemi monotoni e contrattivi. La trattazione e' condotta prevalentemente per i sistemi a tempo continuo. Come premessa allo studio della stabilita' dei cicli viene data un'introduzione ai sistemi dinamici discreti e alla teoria di Floquet. La seconda parte del corso affronta in maniera piu' diretta il problema del comportamento asintotico dei sistemi non lineari di tipo oscillatorio (cicli limite). Vengono studiate e analizzate dinamiche complesse con attrattori strani e caotici. Viene estesa la teoria delle biforcazioni ai cicli e ai tori. Tra gli scopi primari vi e' un approfondito studio dei metodi numerici per lo studio del comportamento globale dei sistemi dinamici, nel dominio del tempo e nel dominio della frequenza (funzione descrittiva e bilanciamento armonico). Durante il corso, vengono presentati in dettaglio alcuni esempi classici: oscillatore di Chua, mappa di Bernoulli, mappa tenda e mappa logistica. Infine si introducono alcuni fondamenti sui sistemi neuromorfi.
Beyond its intrinsic beauty and its geometric elegance, the development of a mathematical theory of dynamical systems is motivated by its fundamental role in analysis and control of nonlinear phenomena, complexity and deterministic chaos. In addition, nonlinear models are fundamental for understanding machine learning and deep learning techniques, based on artificial neural networks. The first part of the course addresses the study of Lyapunov stability, in its topological and differential version. This is one of the simplest, but basic concepts of dynamical systems theory. Besides the Lyapunov function theory and the linearization method, we introduce the center manifold theory, elements of bifurcation theory, as well as the theory of monotone and contractive systems. We focus essentially on the continuous time case. However, in order to introduce the Poincare' map approach to the stability problem of limit cycles, we also treat the discrete time case and Floquet theory. The second part of the course deals in a more direct way with the asymptotic behavior of oscillatory nonlinear systems. We analyze systems which exhibit complex dynamics, strange attractors and chaotic attractors. Bifurcation theory is extended from the elementary case of equilibria to limit cycles and tori. The main goal is to present the proper tools for analyzing the global behavior of nonlinear dynamical systems, through time domain and frequency domain numerical methods, including the describing function technique and the harmonic balance. Some classical examples are presented in detail: Chua's oscillator, Bernoulli's map and the logistic map. Finally fundamental concepts of neuromorphic systems are introduced.
Capacita' di studiare la stabilita' della posizione d'equilibrio di un sistema dinamico non lineare in tempo continuo, per mezzo del metodo di linearizzazione, del metodo delle funzioni di Liapunov, del metodo della varieta' centrale, della teoria dei sistemi monotoni e contrattivi. Capacita' di discutere semplici casi di biforcazione. Capacita' di determinare ed analizzare qualitativamente e numericamente i moti oscillatori presenti nei sistemi dinamici di interesse per varie discipline applicate, ed in particolare per l'ingegneria elettrica ed elettronica. Capacità di comprendere i concetti fondamentali dei sistemi neuromorfi.
Ability of studying the stability of an equilibrium of a system of ordinary differential equation in continuous time, using linearization, the second Lyapunov method, the center manifold theory. Ability of discussing simple types of bifurcations. Ability of determining and analyzing both from a qualitative and numerical point of view the oscillatory motions arising in dynamical systems of interest for application, especially for electrical and electronic engineering. Ability of understanding the fundamental concepts of machine learning and the most significant algorithms implemented by artificial neural networks.
Analisi matematica, geometria, fondamenti di probabilità statistica, fondamenti di elettrotecnica acquisiti in Fisica II.
Mathematical Analysis, Geometry, Fundamentals of Probability and Statistics, Fundamentals of electric circuits given in the course of Physics II.
Prima parte (30h) Sistemi lineari. Sistemi dinamici negli spazi metrici. Posizioni d'equilibrio, cicli, orbite eterocline e omocline. Insieme limite e sue proprieta'. Teoria di Poincare'-Bendixson. Stabilita' e attrattivita' degli insiemi compatti. Regione di attrazione. Teoremi di Liapunov. Principio di invarianza. Stabilita' in prima approssimazione. Equivalenza topologica, Teorema di Hartman-Grobman. Stabilita' strutturale. Teoria della varieta' centrale e applicazioni. Biforcazioni dell'equilibrio e loro classificazione elementare. Forme normali (teoria di Dulac-Poincare'). Sistemi dinamici discreti, teoria di Floquet. Sistemi monotoni e contrattivi. Seconda parte (30h) Oscillatori di fase. Aggancio di fase e in frequenza. Equazioni del moto per di sistemi dinamici non lineari: pendolo, oscillatore armonico, oscillatore di Van der Pol, sistema massa-smorzatore ... Analisi qualitativa di oscillazioni in sistemi dinamici di ordine due: oscillatori a rilassamento. Metodo delle equazioni medie per oscillatori debolmente non lineari. Biforcazioni di cicli limite. Sistemi non lineari costituiti da oscillatori di fase. Sincronizzazione. Metodo della funzione descrittiva e bilanciamento armonico. Oscillatore di Lur'e. Sistemi neuromorfi.
First part Linear systems. Dynamical systems in metric space (topological dynamics) Orbits of special type: equilibria, cycles, homoclinic, heteroclinic. The limit set and its properties. Poincare'-Bendixson Theory. Stability and attraction of compact sets. Region of attraction. Lyapunov theorems and invariance principle. Linearization, topological equivalence. Hartman-Grobman theorem. Center manifold theory and application. Classification of some elementary bifurcation. Normal form (Dulac-Poincare' theory). Discrete dynamical systems, Poincare' map, Floquet theory. Monotone systems. Second part. Asymptotic behavior of nonlinear systems around a limit cycle. Limit cycles and Poincare' map. Oscillatory systems with complex behavior: the Chua oscillator. Method of the description function. Lur'e systems. Method of the harmonic balance. Phase Oscillators and synchronization. Fundamentals of Machine learning: supervised and unsupervised learning .
Lezioni: circa 50 ore Esercitazioni: circa 10 ore.
Lectures: approximately 50 hours. Exercises and labs: approximately 10 hours.
Il materiale per le lezioni e le esercitazioni sarà fornito direttamente dai docenti.
Materials and assignments will be provided by the Instructors.
Modalità di esame: Prova scritta (in aula); Prova orale obbligatoria;
Exam: Written test; Compulsory oral exam;
L’esame si basa su una prova scritta che include otto (8) domande a risposta multipla e due (2) problemi con risposta aperta. La prova ha una durata di 75 minuti. Una risposta corretta in una domanda a risposta multipla fornisce due punti, mentre una risposta sbagliata da una penalizzazione di 0.66 punti. Nessuna penalità è prevista in caso di non risposta. Ogni problema a risposta aperta ha un punteggio massimo di 7 punti. L’esame scritto è seguito da una prova orale obbligatoria. La prova orale vertè su tutti gli argomenti presentati durante il corso e su una discussione della prova scritta. Se la prova orale è ritenuta sufficiente (18/30), la votazione finale sarà una valutazione complessiva che tiene conto per il 75% della prova scritta e per il 25% della prova orale. Libri e/o appunti non possono essere usati durante la prova, ma l’uso di una calcolatrice scientifica è consentito.
Gli studenti e le studentesse con disabilità o con Disturbi Specifici di Apprendimento (DSA), oltre alla segnalazione tramite procedura informatizzata, sono invitati a comunicare anche direttamente al/la docente titolare dell'insegnamento, con un preavviso non inferiore ad una settimana dall'avvio della sessione d'esame, gli strumenti compensativi concordati con l'Unità Special Needs, al fine di permettere al/la docente la declinazione più idonea in riferimento alla specifica tipologia di esame.
Exam: Written test; Compulsory oral exam;
Exam: written test; compulsory oral exam; The exam will mainly consist in an oral examination on the theoretical and practical aspects of the course. There is a written examination to verify the ability of the student to solve simple exercises.
In addition to the message sent by the online system, students with disabilities or Specific Learning Disorders (SLD) are invited to directly inform the professor in charge of the course about the special arrangements for the exam that have been agreed with the Special Needs Unit. The professor has to be informed at least one week before the beginning of the examination session in order to provide students with the most suitable arrangements for each specific type of exam.
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