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PORTALE DELLA DIDATTICA

Meccanica razionale

06BPTMQ

A.A. 2019/20

Lingua dell'insegnamento

Italiano

Corsi di studio

Corso di Laurea in Matematica Per L'Ingegneria - Torino

Organizzazione dell'insegnamento
Didattica Ore
Lezioni 50
Esercitazioni in aula 30
Docenti
Docente Qualifica Settore h.Lez h.Es h.Lab h.Tut Anni incarico
Tosin Andrea Professore Associato MAT/07 50 10 0 0 4
Collaboratori
Espandi

Didattica
SSD CFU Attivita' formative Ambiti disciplinari
MAT/07 8 B - Caratterizzanti Formazione modellistico-applicativa
2019/20
Il corso si propone di introdurre gli studenti alla teoria matematica della meccanica quale prototipo di formalizzazione analitica rigorosa di fenomeni fisici. Gli argomenti riguardano, nello specifico, la meccanica del corpo rigido e dei sistemi articolati e la meccanica lagrangiana.
The main goal of the course is to introduce students to the mathematical theory of Mechanics as a prototype of the rigorous analytical formalisation of physical phenomena. The main topics treated in the course are the mechanics of the rigid body and of the articulated systems and the Lagrangian mechanics.
Al termine del corso lo studente sarà in grado di: (i) caratterizzare le grandezze cinematiche fondamentali per la descrizione del moto di sistemi meccanici complessi ad un numero finito di gradi di libertà e stabilire relazioni tra grandezze valutate in sistemi di riferimento diversi (inerziali e non); (ii) studiare le configurazioni statiche di questi sistemi sottoposti all'azione di forze e analizzarne la stabilità; (iii) calcolare le reazioni vincolari agenti su questi sistemi in condizioni statiche; (iv) scrivere le equazioni differenziali che governano il moto di questi sistemi; (v) studiare opportune approssimazioni del moto di questi sistemi nell'intorno delle configurazioni di equilibrio stabili. Lo studente avrà inoltre acquisito familiarità con i concetti di lavoro virtuale, potenza, energia cinetica e potenziale, che trovano ampia applicazione oltre il perimetro della Meccanica razionale.
After the course students will be able to: (i) characterise the fundamental kinematic quantities which describe the motion of complex mechanical systems with a finite number of degrees of freedom and establish relationships between quantities evaluated in different frames of reference (both inertial and non-inertial); (ii) study the equilibrium configurations of such systems under the action of forces and analyse their stability; (iii) compute the reacting forces acting on these systems in equilibrium conditions; (iv) write the differential equations governing the motion of such systems; (v) study suitable approximations of the motion of these systems around stable equilibrium configurations. Students will also become familiar with the concepts of virtual work, power, energy and potential, which have broad applicability also beyond the realm of Rational mechanics.
Familiarità con le metodologie matematiche di base apprese nei corsi di Analisi Matematica I, II e Geometria.
Students are required to be familiar with concepts and methodologies from the courses of Calculus I, II and Geometry.
- Richiami di calcolo vettoriale in R^3. Prodotto scalare e modulo, basi e componenti, cambiamenti di base, prodotto vettoriale, prodotto misto, sistemi di vettori applicati, centro di un sistema di vettori paralleli. - Richiami di geometria differenziale di curve e superfici. Lunghezza di una curva, ascissa curvilinea, terna intrinseca (versori tangente, normale e binormale), parametrizzazione di una superficie, spazio tangente. - Cinematica del punto. Traiettoria e legge oraria, velocità, accelerazione. - Cinematica del corpo rigido Vincolo di rigidità, configurazioni rigide, teorema di Poisson e velocità angolare, leggi di distribuzione delle velocità e delle accelerazioni, particolari moti rigidi (traslatorio, rototraslatorio, rotatorio, piano), atto di moto, centro istantaneo di rotazione per moti piani, teorema di Chasles. - Cinematica relativa. Derivata di un vettore rispetto a due osservatori, legge di composizione delle velocità (teorema di Galileo), legge di composizione delle accelerazioni (teorema di Coriolis), legge di composizione delle velocità angolari. - Sistemi vincolati. Classificazione dei vincoli (olonomi, anolonomi, bilateri, unilateri, scleronomi, reonomi), coordinate lagrangiane e gradi di libertà, velocità e spostamenti virtuali. - Geometria delle aree e delle masse. Caratteristiche geometriche delle sezioni piane, baricentro, centro di massa, momenti statici, momenti di inerzia, teorema di Huygens-Steiner, matrice di inerzia, assi principali di inerzia. Esempi di calcolo delle caratteristiche geometriche di sezioni piane notevoli (rettangolo, quadrato, cerchio, sezioni composte da rettangoli: sezione a T, a doppia T, a U). - Equazioni cardinali della dinamica. Sistemi di forze, risultante e momento risultante, lavoro e lavoro virtuale di una forza, lavoro di forze su un sistema olonomo, forze generalizzate, lavoro di forze su un sistema rigido, dinamica del punto materiale, postulato delle reazioni vincolari, vincoli ideali, quantità di moto, momento delle quantità di moto, prima equazione cardinale della dinamica, seconda equazione cardinale della dinamica, espressione del momento delle quantità di moto e della sua derivata temporale per sistemi rigidi, equazioni di Eulero, equazioni pure del moto, integrali primi del moto. - Statica ed equilibrio. Prima equazione cardinale della statica, seconda equazione cardinale della statica, principio dei lavori virtuali, statica dei sistemi rigidi, statica dei sistemi olonomi, configurazioni di equilibrio ordinarie e di confine, potenziale e teorema di stazionarietà del potenziale, stabilità (in senso statico), massimi del potenziale. - Energia cinetica. Teorema di Koening, espressione dell'energia cinetica per un sistema rigido e per un sistema olonomo, matrice di massa, potenza di forze, teorema dell'energia cinetica, conservazione dell'energia meccanica. -Meccanica lagrangiana. Equazioni di Lagrange per sistemi olonomi, lagrangiana, integrale primo dei momenti cinetici. -Piccoli moti. Linearizzazione delle equazioni di Lagrange, pulsazioni e frequenze proprie di oscillazione.
- Revision of vector calculus in R^3. Inner product and modulus, bases and components, change of basis, vector product, triple product, applied vectors, centre of parallel vectors. - Revision of differential geometry: curves and surfaces. Arc length, intrinsic reference system (tangent, normal and binormal unit vectors), parametrisation of a surface, tangent space. - Kinematics of a point particle. Equation of motion and trajectory, velocity and acceleration. - Kinematics of the rigid body. Rigidity constraint, rigid configurations, Poisson theorem and angular velocity, velocity and acceleration fields of a rigid motion, particular rigid motions (translational, roto-translational, rotational, planar), instant centre of rotation for planar motions, Chasles theorem. - Relative kinematics. Derivative of a vector with respect to two observers, Galileo theorem, Coriolis theorem, composition of angular velocities. - Constrained systems. Classification of the constraints (holonomic, nonholonomic, bilateral, unilateral, time-independent, time-dependent), Lagrangian coordinates and degrees of freedom, virtual velocities and displacements. - Geometry of areas and masses. Geometrical characteristics of planar sections, barycentre, centre of mass, statical moments of areas, moments of inertia, Huygens-Steiner theorem, matrix of inertia, principal axes of inertia. Examples of geometrical characteristics of special planar sections (rectangle, square, circle, sections composed by rectangles: T-section, double T-section, U-section). - Fundamental equations of Dynamics. Systems of forces, resultant and torque, work and virtual work of a force, work of forces on a holonomic system, generalised forces, work of forces on a rigid system, dynamics of a point particle, reactive forces, ideal constraints, linear momentum, angular momentum, first fundamental equation of Dynamics, second fundamental equation of Dynamics, angular momentum and its time derivative for rigid systems, Euler equations, first integrals. - Statics and equilibria. First fundamental equation of Statics, second fundamental equation of Statics, principle of virtual works, statics of rigid systems, statics of holonomic systems, equilibrium configurations, potential, principle of stationary potential, stability. - Kinetic energy. Koening theorem, kinetic energy for a rigid and a holonomic system, mass matrix, power of forces, theorem of the kinetic energy, principle of conservation of mechanical energy. - Lagrangian mechanics. Lagrange equations for holonomic systems, Lagrangian, first integral of canonical momenta. - Small oscillations. Linearisation of the Lagrange equations, characteristic frequencies of oscillation.
Il corso si articola in: - lezioni teoriche frontali (50 ore); - esercitazioni in aula (30 ore). Durante le esercitazioni si propone agli studenti la risoluzione guidata di problemi principalmente sui seguenti argomenti: - cinematica del punto e del corpo rigido liberi e vincolati; - cinematica relativa; - calcolo delle caratteristiche geometriche di sezioni piane; - equazioni cardinali della dinamica; - equazioni cardinali della statica; - principio dei lavori virtuali e stazionarietà del potenziale; - determinazione delle configurazioni di equilibrio di un sistema meccanico e discussione della loro stabilità; - calcolo delle reazioni vincolari in condizioni dinamiche e statiche; - equazioni di Lagrange; - linearizzazione delle equazioni del moto nell’intorno di configurazioni di equilibrio stabili. Durante le esercitazioni si propone altresì la risoluzione di temi d'esame degli anni passati.
The course is organised in: - theoretical lectures (50 hours); - classroom exercises (30 hours). During classroom exercises students are exposed to the guided solution of problems focussed on the following topics: - kinematics of free and constrained point particles and rigid bodies; - relative kinematics; - calculation of the relevant geometrical characteristics of planar sections; - fundamental equations of dynamics; - fundamental equations of statics; - principle of virtual works, principle of stationary potential; - calculation of the equilibrium configurations of a mechanical system and discussion of their stability; - calculation of dynamical and static reactive forces; - Lagrange equations; - linearisation of the Lagrange equations about stable equilibrium configurations. During the last part of the course, classroom exercises will also focus on the solution of exercises from past exams.
Per la teoria: - P. Biscari, T. Ruggeri, G. Saccomandi, M. Vianello. Meccanica Razionale, Springer, 2016. Per gli esercizi: - A. Muracchini, T. Ruggeri, L. Seccia. Esercizi e temi d'esame di Meccanica razionale, Esculapio, 2013. Durante le ore di esercitazione saranno resi disponibili, e parzialmente svolti, ulteriori esercizi sui vari argomenti del corso. Sul Portale della Didattica sarà inoltre messa a disposizione degli studenti una raccolta di temi d'esame svolti assegnati agli appelli degli anni passati.
Theory: - P. Biscari, T. Ruggeri, G. Saccomandi, M. Vianello, Meccanica Razionale, Springer, 2016. Exercises: - A. Muracchini, T. Ruggeri, L. Seccia. Esercizi e temi d'esame di Meccanica razionale, Esculapio, 2013. Further exercises will be provided, and partly solved, during practical classes. Moreover, a collection of solved exercises from past exams will be made available to the students through the course web site.
Modalità di esame: prova scritta; prova orale facoltativa;
L'esame è costituito da una prova scritta della durata di 120 minuti, volta a verificare le conoscenze teoriche degli studenti e la loro capacità di trattare qualitativamente sistemi meccanici. La prova è strutturata in due parti: - una domanda di teoria a risposta libera (5 punti); - un esercizio sugli argomenti svolti a lezione e durante le esercitazioni (26 punti). Il punteggio massimo conseguibile con la prova scritta è 31, corrispondente ad una votazione di 30L. Durante lo svolgimento dell'esame è consentito consultare un formulario compilato a cura dello studente, con l'unico vincolo di occupare al massimo una facciata di foglio A4. L'esame può comprendere anche una prova orale, ad integrazione di quella scritta, su richiesta dello studente (se risultato sufficiente allo scritto) o per libera decisione del docente, nel caso in cui sia opportuno un approfondimento. La prova orale consiste in domande che possono includere sia la dimostrazione di teoremi sia l'applicazione di tecniche risolutive e descrittive sviluppate durante il corso. Se richiesta, la prova orale concorre a determinare il voto finale dell'esame insieme con quella scritta. In particolare, essa può comportare sia l'innalzamento sia l'abbassamento del voto conseguito allo scritto senza limiti predefiniti (in più o in meno).
Exam: written test; optional oral exam;
The examination consists in a 120-minute written exam, which assesses the theoretical knowledge of the students and their ability to deal qualitatively with mechanical systems. The examination is composed of two parts: - a theoretical open-ended question (5 points); - an exercise on the topics taught during the lectures and the pratical classes (26 points). The maximum score obtainable from the written exam is 31, corresponding to the grade 30 with merit. During the written exam students may consult a form that they can fill in personally in advance not exceeding one side of an A4-size sheet. An oral exam, integrating the written one, is possible upon request of the students (if satisfactory in the written part) or of the teacher. The oral exam consists in theoretical questions, which may include both the proof of theorems and the application of solution techniques developed during the course. If requested, the oral exam contributes to the final grade of the examination together with the written exam. In particular, it can either increase or decrease the score obtained from the written exam.


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