Recentemente si è affermata una classe piuttosto ampia di metodi numerici detti genericamente mesoscopici, quali, ad esempio, quelli ascrivibili al Lattice Boltzmann Method (LBM) oppure i cosiddetti Gas Kinetic Schemes (GKS) per il calcolo scientifico o i metodi di rilassamento. Questi metodi si affiancano ai metodi numerici tradizionali della termofluidodinamica numerica (Computational Fluid Dynamics - CFD), quali, ad esempio, i metodi basati sulle differenze finite, sui volumi finiti oppure sugli elementi finiti, e costituiscono un campo di ricerca in rapida espansione.
Caratteristica comune dei metodi mesoscopici consiste nel fatto che essi si avvalgono, a vario titolo, di concetti derivanti dalla teoria cinetica dei gas, tuttavia essi differiscono profondamente in relazione alle equazioni, cinetiche oppure macroscopiche, che si intende realmente risolvere. Nel caso delle equazioni cinetiche, i concetti derivati dalla meccanica statistica vanno intesi ed applicati in senso letterale, al fine di utilizzare un contenuto di informazione maggiore di quello fornito dai modelli macroscopici (per esempio in presenza di gas rarefatti), mentre, nel secondo caso, i concetti cinetici diventano strumenti puramente numerici, tesi a semplificare l¿implementazione dei modelli e l¿uso efficiente delle piattaforme intensive di calcolo (High Performing Computing - HPC, Grid Computing, ¿). In entrambi i casi, questa classe di metodi riscuote un grosso interesse in molte aree della fisica, chimica, biologia e ingegneria. Risultati significativi sono stati raggiunti nella scienza dei materiali (specialmente relativamente alla comprensione e predizione di strutture e proprietà a livello mesoscopico e macroscopico), nella simulazione di onde di shock con presenza contemporanea di strati limite, nella comprensione dei meccanismi alla base di disfunzioni del deflusso sanguigno e della formazione di complesse strutture naturali. Questo corso si prefigge di esporre gli elementi essenziali alla comprensione ed all¿uso operativo dei metodi numerici mesoscopici, partendo dalle nozioni di base dei metodi numerici per il calcolo scientifico. Inoltre si intende illustrare le fasi principali delle simulazioni computazionali multiscala, corredate di alcuni cenni agli aspetti pratici di implementazione ed alle applicazioni più promettenti.

IL CORSO SI TERRA' IN LINGUA INGLESE

Parte 1 [4 ore]: Richiami di teoria cinetica dei gas. Funzione di distribuzione, grandezze macroscopiche e microscopiche. L'equazione di Boltzmann. Invarianti collisionali ed equazioni macroscopiche di conservazione per massa, quantità di moto ed energia totale. Configurazioni di equilibrio e distribuzione Maxwelliana. Equazioni idrodinamiche di Eulero. Modelli collisionali semplificati: operatore BGK. Limite idrodinamico.
Parte 2 [8 ore]: Metodi tradizionali per equazioni di conservazione. Metodi upwind e metodi centrali per sistemi iperbolici lineari. Sviluppo di onde d'urto in sistemi non lineari. Teorema di Lax Wendroff e metodi conservativi. Condizione dell'entropia. Metodo di Godunov e problema di Riemann. Stabilità lineare e condizione TVD. Metodi ad alta risoluzione. Metodi di rilassamento. Metodo di rilassamento per leggi di conservazione. Metodi di rilassamento per problemi di convezione diffusione.
Parte 3 [14 ore]: Metodi numerici mesoscopici: regime comprimibile. Approccio cinetico al problema: Equilibrium Flux Method (EFM) e Kinetic Flux Vector Splitting Scheme (KFVS). Approccio up-wind adattativo a livello cinetico: Gas Kinetic Schemes (GKS). Formulazione elementare: ricostruzioni al bordo continue e discontinue. Metodi numerici mesoscopici: regime incomprimibile. Cenni alla teoria dei lattici discreti: formule di quadratura ed isotropia in 2D ed in 3D. Formulazione esplicita elementare del "Lattice Boltzmann Method" (LBM) per un singolo fluido. Confronto con i metodi numerici convenzionali.
Parte 4 [4 ore]: Aspetti pratici di implementazione. Cenni di calcolo parallelo (librerie MPI ed OpenMP, strategie di decomposizione del dominio di calcolo, gestione delle comunicazioni). Cenni alle applicazioni: deflusso di miscele reattive in materiali porosi delle celle a combustibile. Caratteristiche principali del codice LABORA. Gestione delle simulazioni. Analisi dei risultati e raccordo con gli strumenti convenzionali di simulazione numerica.


Course program:
Part 1 [4 hours]: Basic topics on kinetic theory of gasses. Distribution function, microscopic and macroscopic quantities. The Boltzmann equation. Collisional invariants. Macroscopic conservation equations for mass, momentum and total energy. Equilibrium distribution function and Maxwellian distribution. Euler system of equations. Simplified kinetic models: BGK operator. Hydrodynamic limit. Navier ¿ Stokes ¿ Fourier system of equations.
Part 2 [8 hours]: Traditional numerical methods for conservation equations. Upwind and central methods for hyperbolic systems of equations. Shock waves in non-linear systems. Lax-Wendroff theorem and conservative methods. Entropy condition. Godunov method and the Riemann problem. Linear stability and TVD condition. High resolution methods. Relaxation methods. Relaxation methods for conservation equations. Relaxation methods for advection-diffusion equations.
Part 3 [14 hours]: Mesoscopic numerical methods for compressible flows. Kinetic approach: Equilibrium Flux Method (EFM) and Kinetic Flux Vector Splitting Scheme (KFVS). Upwind at kinetic level: Gas Kinetic Scheme (GKS). Elementary formulation: continuous and discontinuous reconstruction. Mesoscopic numerical methods for incompressible flows. Basic topics on discrete lattice theory. Quadrature formulae. Symmetry properties. Explicit elementary formulation of the Lattice Boltzmann Method (LBM) for a single fluid. Comparison with traditional methods.
Part 4 [4 hours]: Practical details of implementation. High performance computing and parallel computing (MPI and OpenMP library, domain decomposition strategy, networking and communications).