1. Concetti di base
Richiami sui principali operatori differenziali (gradiente, divergenza, rotore). Definizione di equazione alle derivate parziali e primi esempi. Varie forme del concetto di soluzione. Equazioni lineari del primo ordine; caratteristiche. Equazioni lineari del secondo ordine e loro classificazione. Forma canonica di un'equazione ellittica, parabolica e iperbolica. Varietà caratteristiche. Condizioni al bordo e condizioni iniziali.
Buona positura di un problema ai valori al bordo/iniziali. Esempi.

2. Teoria della distribuzione
Definizioni, esempi e prime proprietà. Derivate di una distribuzione. La delta di Diric. Calcolo delle derivate distribuzionali di una funzione regolare a pezzi. Calcolo delle soluzioni distribuzionali di equazioni differenziali. Soluzione fondamentale del Laplaciano.

3. Spazi di Sobolev


4. Problemi ellittici
Formulazione variazionale (o debole) di un problema ai valori al bordo per una equazione ellittica del secondo ordine. Un esempio: il problema della membrana elastica. Forma bilineare associata alla formulazione variazionale. Lemma di Lax-Milgram. Buona positura del problema variazionale. Interpretazione della soluzione di tale problema. Regolarità della soluzione all'interno del dominio; regolarità fino al bordo; il caso di un dominio poligonale. Cenno ai problemi al bordo del quarto ordine.

5. Teoria sprettrale per il problemi ellittici
I concetti di autovalore e autofunzione di un problema ellittico; motivazioni. Applicazione del teorema spettrale in uno spazio di Hilbert. Proprietà degli autovalori e delle autofunzioni. Espansione di autofunzioni della soluzione di un problema ellittico. Calcolo degli autovalori e delle autofunzioni di problemi ellittici notevoli (in un intervallo, in un quadrato, in un cerchio). Il metodo della separazione delle variabili e soluzioni per serie di un problema ellittico.

6. Problemi parabolici
Formulazione variazionale di un problema ai valori iniziali e al bordo per una equazione parabolica del secondo ordine. Un esempio: l'equazione del calore. Lemma di Lions e formula di integrazione per parti rispetto al tempo. Buona positura del problema variazionale. Cenno alla regolarità della soluzione di tale problema; proprietà qualitative; dissipatività. Soluzione per serie di un problema parabolico.

7. Il principio di massimo
Varie forme del principio del massimo per la soluzione classica di un problema ellittico. Principio del massimo per la soluzione variazionale di un tale problema; teorema di Stampaccia. Estensione dei risultati ai problemi parabolici.

8. Problemi iperbolici
Formulazione variazionale di un problema ai valori iniziali e al bordo per una equazione iperbolica del secondo ordine. Un esempio: l'equazione delle onde per una membrana elastica. Buona positura del problema variazionale. Proprietà qualitative della soluzione; conservazione dell'energia totale. Soluzione per serie di un problema iperbolico.

9. Cenno alla formulazione integrale di un problema ellittico
La funzione di Green associata a un problema ellittico; rappresentazione integrale della soluzione. Formula di Poisson. Risoluzione di un problema ai valori al bordo per l'equazione di Laplace. Potenziali di semplice e doppio strato.

C. Canuto, Notes on Partial differential Equations, disponibile in rete

Altri testi di riferimento

S. Salsa, Equazioni a derivate parziali, Springer Milano 2004;
M. Renardy and R.C. Rogers, An Introduction to Partial Differential Equations, Springer New York 1992;
H.F. Weinberger, A First Course in Partial Differential Equations, Wiley New York 1965;
G.B. Folland, Introduction to Partial Differential Equations, Princeton University Press 1995;
P.A. Raviart and J.M. Thomas, Introduzione all'analisi numerica delle equazioni alle derivate parziali, Masson Italia 1989.