La progettazione ingegneristica si serve sempre più dei risultati di simulazioni numeriche basate sull'integrazione di equazioni differenziali alle derivate parziali derivate da modelli fisici. Questo è particolarmente vero nel campo della progettazione aerospaziale, dove infatti la fluidodinamica computazionale ha ottenuto i maggiori successi. Questo corso si propone come un'introduzione ai fondamenti del calcolo numerico e del calcolo scientifico. Verranno descritte le principali tecniche numeriche di base e i metodi in uso per integrare equazioni alle derivate parziali: elementi finiti per problemi ellittici e parabolici, volumi finiti per problemi iperbolici.
I metodi studiati verranno poi applicati a problemi semplici, che siano in grado però di illustrare le caratteristiche di uno schema e i principali dettagli di implementazione.

Acquisizione delle tecniche di base del calcolo numerico classico (soluzione numerica di sistemi lineari algebrici, approssimazione, integrazione numerica). Conoscenza dei principali strumenti del calcolo scientifico per la risoluzione di equazioni alle derivate parziali: elementi finiti per problemi ellittici e parabolici, volumi finiti per problemi iperbolici. Applicazioni a semplici problemi di strutture in equilibrio e di gas dinamica. Competenza necessaria ad analizzare criticamente le simulazioni numeriche di fenomeni fisici fornite da software commerciale.

Una buona base di Analisi Matematica e Geometria, elementi di programmazione (possibilmente in linguaggio Matlab®, Fortran o C).

Calcolo numerico di base: (15 ore)
Soluzione di sistemi lineari algebrici: condizionamento di una matrice, fattorizzazione LU, QR e SVD.
Interpolazione polinomiale globale e a tratti.
Integrazione numerica.
Soluzione di equazioni alle derivate ordinarie.
Scelta adattiva del passo di integrazione.
Problemi iperbolici: (20 ore)
Equazione del trasporto lineare; condizioni al contorno.
Leggi di conservazione scalari non lineari; onde d' urto e onde di rarefazione; condizione dell' entropia.
Modello del traffico.
Metodi numerici per equazioni lineari; metodi di Lax-Friedrichs, Upwind e Lax-Wendroff.
Equazione modificata: diffusione e dispersione.
Schemi conservativi: il problema di Riemann ed il metodo di Godunov.
Costruzione di schemi non oscillanti ad alta risoluzione.
Sistemi lineari iperbolici.
Problemi ellittici: (20 ore)
Formulazione variazionale; condizioni al bordo di Dirichlet e di Neumann.
Metodo di Galerkin; equivalenza con un problema di minimizzazione.
Elementi P1 e P2 su un intervallo.
Problema del filo elastico e della trave elastica.
Formulazione variazionale di un problema in 2D; problema della membrana elastica.
Problemi di convezione-diffusione.
Memorizzazione della triangolazione e costruzione della matrice di rigidità.
Alcuni spazi FEM; stime di interpolazione.
Risoluzione di sistemi lineari algebrici di grandi dimensioni: (10 ore)
Metodo di Richardson.
Metodo del gradiente e del gradiente coniugato.
Metodo di Arnoldi e GMRES.
Cenni sulla soluzione di problemi parabolici: (5 ore)
Formulazione variazionale di un problema parabolico.
Semidiscretizzazione nello spazio con elementi finiti.
Discretizzazione nel tempo; metodo di Eulero esplicito e implicito, metodo di Crank Nicholson.

Nelle esercitazioni, si cercherà di approfondire gli argomenti svolti a lezione studiando in dettaglio alcune situazioni concrete ed illustrando le tecniche viste a lezione con esercizi. Le esercitazioni di laboratorio affronteranno sia l'implementazione pratica degli algoritmi in ambiente Matlab per casi particolarmente semplici sia lo studio critico dei risultati numerici ottenuti con i metodi proposti.

Il materiale del corso è trattato nelle dispense manoscritte del docente e nelle presentazioni per la parte di laboratorio.
Per una trattazione più completa ed approfondita, si rimanda ai libri seguenti:
Problemi ellittici e parabolici: C. Johnson, Numerical solution of partial differential equations by the finite element method, Cambridge University Press, 1990 (Capitoli: 1, 2, 3, 4, 8)
Problemi iperbolici: R. LeVeque, Numerical methods for conservation laws, Birkhäuser Verlag, 1990 (Capitoli: 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 16).
Risoluzione di sistemi algebrici: Anne Greenbaum: Iterative methods for solving linear systems, Philadelphia, SIAM 1997.

L'esame è scritto e orale. Nella parte scritta, si richiede di svolgere alcuni esercizi. La parte orale consiste in una discussione sui principali argomenti svolti nel corso, sia dal punto di vista teorico che pratico. Inoltre, alla fine del corso verranno assegnati dei temi per tesine da svolgere individualmente o in gruppo. Lo svolgimento della tesina è opzionale. Gli studenti che scelgono di svolgere la tesina discuteranno i risultati ottenuti nel corso della parte orale dell'esame, e la valutazione della tesina contribuisce al voto finale.