L'insegnamento, obbligatorio per tutti gli studenti, si colloca all'inizio della laurea magistrale in quanto ha la finalità di introdurre gli studenti ai concetti matematici alla base della modellazione dei materiali continui: gas, liquidi non viscosi, viscosi e viscoelastici, solidi, elastici e viscoelastici. Questo corso è quindi considerato come un prerequisito a tutti i corsi di meccanica dei fluidi e dei solidi che gli studenti incontreranno successivamente nel loro percorso di studi.

L'obiettivo principale è quello di rendere l'allievo in grado di comprendere e descrivere il comportamento di sistemi continui. Lo studente sarà quindi in grado di tradurre in termini matematici i problemi relativi al comportamento dei materiali continui deducendo opportuni modelli matematici e di comprendere viceversa, esaminando il modello matematico, a quale materiale quest'ultimo fa riferimento e quindi quali siano le proprietà meccaniche e le proprietà della soluzione del problema matematico che ci si può attendere.

E' richiesta la conoscenza dei fondamenti di calcolo differenziale e integrale in più variabili e di equazioni differenziali alle derivate parziali.

Cinematica di un mezzo continuo
Spostamento e velocità. Gradiente di deformazione e di velocità di deformazione, parte simmetrica e antisimmetrica.
Decomposizione polare, tensori di Cauchy--Green. Deformazione infinitesima.
Leggi di trasformazione di volumi e superfici.
Derivata materiale.
Superfici singolari, Generalizzazione dei teoremi di Gauss e Stokes.
Spazio normato dei tensori, invarianti principali, teoremi di rappresentazione di funzioni isotrope.


Equazioni di bilancio
Teorema di Reynolds, condizione di Rankine'Hugoniot.
Leggi di bilancio con superfici di discontinuità. Applicazione all'equazione di Maxwell.
Leggi di bilancio in coordinate euleriane e lagrangiane.
Bilancio di massa.
Bilancio di quantità di moto, primo e secondo teorema di Cauchy.
Bilancio del momento della quantita` di moto e simmetria del tensore di Cauchy. Condizioni al bordo.
Bilancio di energia totale, energia cinetica ed energia interna.
Potenza dissipata. Equazione del calore.
Tensore di Piola e legge di trasformazione delle condizioni al bordo.
Diseguaglianza dell'entropia.
Energia libera e diseguaglianza di Clausius--Duhem, deduzione di restrizioni sull'ammissibilità di leggi costitutive.
Vincoli interni: incomprimibilità ed inestensibilità.
Principio di invarianza della risposta meccanica dall'osservatore.

Equazioni costitutive
Solidi elastici, equazioni costitutive per un mezzo elastico isotropo.
Deformazione di puro taglio di un solido elastico ed effetto Poynting.
Solidi iperelastici, conservazione dell'energia. Deformazioni omogenee: test triassiali e biassiali.
Derivata di un operatore, linearizzazione del tensore degli sforzi, tensore dell'elasticità.
Elasticità lineare isotropa, soluzioni elementari. Onde elastiche lineari.
Fluidi perfetti. Fluidi barotropici, teorema di Bernoulli, invarianti di Riemann in un gas isoentropico. Incomprimibilita`.
Correnti potenziali: teorema di Kelvin. Onde acustiche.
Fluidi viscosi incomprimibili. Equazioni di Navier--Stokes, soluzioni elementari. Decomposizione di Helmholtz'Hodge.
Fluidi non-Newtoniani: shear thinning. Fluidi di grado n
Viscoelasticità infinitesima. Modelli spring-dashpot. Modelli integrali.

La disciplina non si presta alla proposizione di numerosi esercizi di impegno limitato. Il volume delle esercitazioni, pertanto, non supererà il 25% delle ore complessive. Verranno invece proposti problemi più ampi che svolti dallo studenti con il supporto del docente costituiranno parte della valutazione finale.

Appunti delle lezioni già a disposizione degli studenti sul portale della didattica
N. Romano and R. Lancellotta, Continuum Mechanics Using Mathematica: Fundamentals, Applications, and Scientific Computing, Birkhauser 2005.
I.S. Liu, Continuum Mechanics, Springer Verlag, 2002.

L'esame consisterà di un colloquio orale, tipicamente con tre domande, una per capitolo principale del programma del corso. Inoltre verranno discussi i problemi assegnati, affrontati e risolti dallo studente durante il corso.