Scopo del corso è l'acquisizione dei modelli e metodi matematici atti allo studio di sistemi meccanici.
Viene trattata la meccanica del corpo rigido e dei sistemi articolati e la meccanica Lagrangiana.

Lo studente acquisirà le conoscenze sulla modellazione matematica di sistemi meccanici e dei relativi metodi
di analisi qualitativa.

Analisi II

Richiami di Equazioni differenziali
Modelli differenziali. Modelli discreti di sistemi continui.
Equazioni differenziali a coefficienti costanti. L'oscillatore armonico
Sistemi di equazioni differenziali lineari. Oscillatori accoppiati.
Problemi ai valori iniziali e problemi al contorno.
Sistemi di equazioni differenziali nonlineari. Posizioni di equilibrio.
Cinematica del Corpo Rigido
Richiami di cinematica del punto. Cinematica del corpo rigido. Angoli di Eulero, velocità angolare di
rotazione. Formula fondamentale delle velocità. Analisi dell'atto di moto rigido, asse di Mozzi. Moti rigidi
piani. Cinematica relativa.
Vincoli e Sistemi vincolati
Classificazione cinematica dei vincoli; vincoli di posizione e di rigidità. Spostamenti e velocità virtuali. Sistemi
olonomi, coordinate lagrangiane, gradi di libertà.
Geometria delle masse
Baricentri, momenti di inerzia. Tensore ed ellissoide d'inerzia. Assi principali d'inerzia.
Meccanica
Classificazione delle forze attive. Sistemi di forze, risultante, momento angolare risultante e riduzione di
sistemi di vettori applicati. Lavoro, potenziale e forze conservative. Leggi della meccanica. Postulato delle
reazioni vincolari.
Statica
Lavoro elementare e lavoro virtuale. Principio dei lavori virtuali. Statica dei sistemi olonomi e teorema di
stazionarietà del potenziale. Equazioni cardinali della statica. Statica relativa.
Dinamica dei sistemi
Dinamica del punto materiale. Quantità di moto, momento delle quantità di moto, energia cinetica e loro
espressione per sistemi rigidi. Teorema di Konig.
Equazioni cardinali della dinamica e Teoremi della quantità di moto e del momento delle quantità di moto e
relativi integrali primi. Equazioni di Eulero. Moto di un solido con asse fisso. Moto di un solido con punto
fisso. Teorema e integrale primo dell'energia.
Meccanica Lagrangiana
Principio di D’Alembert. Energia cinetica di sistemi olonomi. Equazioni di Lagrange. Momenti cinetici e
coordinate ignorabili. Integrali primi lagrangiani e hamiltoniana.

Agli studenti sono proposti esercizi e problemi applicativi sui seguenti argomenti:
Cinematica del punto e del corpo rigido.
Sistemi di vettori applicati e riduzione delle forze d'inerzia.
Principio dei lavori virtuali.
Problemi di statica e dinamica con calcolo di reazioni vincolari.
Equazioni di Lagrange.
Meccanica relativa.

P. Biscari, T. Ruggeri, G. Saccomandi, M. Vianello, Meccanica Razionale per l’Ingegneria, Monduzzi Editore,
2007.
Per approfondimenti ed ulteriore consultazione:
N. Bellomo, L. Preziosi e A. Romano, "Mechanics and Dynamical Systems with Mathematica", Birkhauser
(2000).

L'esame consiste in una prova scritta. Qualora lo studente abbia superato lo scritto con un punteggio non
inferiore a 24, può sostenere l’orale per cercare di migliorare il punteggio finale dell’esame.
L’esame scritto consiste nello svolgimento di uno o piu’ esercizi. Gli esercizi possono comprendere anche
quesiti di tipo teorico-concettuale (senza dimostrazioni). Il tempo massimo a disposizione è di 120 minuti.
Durante lo svolgimento dell’esame è consentito tenere esclusivamente un formulario consistente in una
facciata di foglio A4, secondo il modello disponibile sul portale della didattica, compilato a cura dello
studente.
E’ necessario prenotarsi per l’esame tramite il portale della didattica (gli studenti che non possono inserire
l’esame nel carico didattico devono inviare un mail al titolare del corso). Gli studenti che si prenoteranno
all’esame ma non si presenteranno all’appello (senza provvedere alla cancellazione della prenotazione in
tempo utile) non verranno ammessi all’appello successivo.
Gli studenti che consegneranno una prova d’esame che risulterà insufficiente verranno registrati come
respinti.
L'esame orale consiste in due o tre domande che includono sia la dimostrazione di un teorema che
l'applicazione di tecniche risolutive e descrittive sviluppate durante il corso.
Esempi di alcune possibili domande concettuali
Bilancio della quantita’ di moto per un sistema di punti materiali
Definizione di momento delle quantita’ di moto
Definizione di energia cinetica
Energia cinetica in termini del tensore d’inerzia
Cos’e’ un vincolo olonomo?
Cos’e’ un vincolo anolonomo?
Differenza tra spostamento virtuale e spostamento possibile
Cos’e’ un corpo rigido?
Quand’e’ che due sistemi di forze si dicono equivalenti
Definizione del baricentro
Definizione di tensore di inerzia
Assi principali ed assi centrali
Cosa sono le equazioni cardinali?
Principio dei lavori virtuali
Principio di D’Alembert-Lagrange
Quand’e’ che una coordinata si dice ignorabile?
Definizione di posizione di equilibrio e di stabilita’
Dimostrazioni di teoremi (e affini) richieste per l’orale
Teorema del momento delle quantita’ di moto
Teoremi dell’energia
Teorema di Konig
Teorema di Huygens
Formula fondamentale del corpo rigido
Deduzione dell’equazione di Lagrange
Energia cinetica di un sistema olonomo