Il corso di Geometria ha due obiettivi fondamentali. Il primo è di educare lo studente all'esame di un problema, distinguendo chiaramente : i dati di partenza (ipotesi), l'obiettivo da raggiungere (tesi), il percorso logico-deduttivo dai dati all'obiettivo (dimostrazione). Lo studio dei primi elementi di algebra lineare è particolarmente adatto allo scopo, per il limitato numero di dati e la semplicita' del ragionamento che conduce alla tesi. Il secondo obiettivo è di presentare agli studenti gli argomenti fondamentali di algebra lineare, di geometria analitica e differenziale e delle funzioni di più variabili a valori reali, raccordandosi ai corsi di Analisi I e II. Una parte del corso è dedicata all'estensione del calcolo differenziale da una a piu' variabili ed alle sue applicazioni geometriche. Inoltre, la geometria analitica dello spazio è uno strumento necessario per il calcolo integrale in piu' variabili, trattato nel corso di Analisi II.

Capacità di seguire le dimostrazioni; comprensione delle proprietà essenziali della geometria analitica dello spazio e dei rudimenti della teoria degli spazi vettoriali (capacità di operare con le matrici e risolvere sistemi di equazioni lineari). Inoltre si richiede la comprensione delle nozioni fondamentali relative alla continuità e alla differenziabilità delle funzioni di più variabili.

Numeri reali e complessi, trigonometria, equazioni e disequazioni di primo e secondo grado, calcolo differenziale in una variabile.

CALCOLO VETTORIALE.
Concetto di vettore e operazioni con vettori. Prodotto scalare, distanze, angoli. Prodotto vettoriale, prodotto misto, aree e volumi. Geometria del piano, rette e coniche. Equazioni di un piano nello spazio. Rette in forma parametrica.

MATRICI E SISTEMI
Matrici, somma e prodotto di matrici. Potenze e inverse di matrici quadrate. Sistemi di equazioni, forma matriciale di un sistema. Teorema di Rouchè-Capelli. Indipendenza lineare in Rn. Combinazioni lineare e sottospazi generati da vettori. Sottospazi di Rn, basi. Spazi generati dalle righe o dalle colonne di matrici.

APPLICAZIONI LINEARI
Concetto di spazio vettoriale. Applicazioni lineari tra spazi vettoriali. Isomorfismi. Matrici associate ad applicazioni lineari. Nucleo e Immagine. Nullità e Rango. Operazioni su sottospazi. Somma e somma diretta di sottospazi.

DIAGONALIZZAZIONE
Endomorfismi, cambiamenti di base. Autovalori, determinante di una matrice quadrata. Autovettori, sottospazi, molteplicità. Matrici simmetriche e forme quadratiche. Matrici ortogonali. Diagonalizzabilita' di matrici quadrate e diagonalizzazione delle matrici simmetriche.

CALCOLO DIFFERENZIALE.
Curve nello spazio. Vettore e retta tangente. Lunghezza di un arco di curva e integrale curvilineo. Funzioni con dominio in Rn. Elementi di topologia. Limiti e continuità. Derivate parziali e gradiente. Funzioni a valori vettoriali. Matrice Jacobiana.

FUNZIONI DI DUE VARIABILI
Il grafico di una funzione di due variabili. Paraboloidi. Differenziabilità e piano tangente. Derivate seconde, matrice Hessiana. Sviluppi in serie di Taylor. Punti di massimo e minimo relativo. Estremi.

SUPERFICI E QUADRICHE
Superfici di rotazione, sfere. Ellissoidi e Iperboloidi. Rotazioni del piano e dello spazio. Quadriche, rette e piani. Superfici in forma parametrica. Vettore normale, piano tangente e retta normale.

Il corso consta di lezioni ed esercitazioni a squadre.

I testi consigliati, scelti tra quelli elencati, saranno comunicati a lezione dal docente titolare dell'insegnamento.

1) S. Greco, P. Valabrega , Lezioni di Geometria , Vol. I Algebra lineare, Vol. 2 Geometria Analitica, Ed. Levrotto e Bella , Torino 2009.
2) C. Cumino, G. Tedeschi, G. Viola, Appunti di Geometria Analitica e Algebra Lineare, Progetto Leonardo, Bologna.
3) A. Sanini, Lezioni di Geometria, Ed. Levrotto e Bella, Torino 1993.
4) A. Sanini, Esercizi di Geometria, Ed. Levrotto e Bella, Torino 1993.

Materiale utile si trova anche in rete, sul sito del Politecnico di Torino o nelle pagine WEB dei singoli corsi.

La verifica dell'apprendimento avviene mediante una prova scritta. A discrezione del docente, gli studenti potranno essere convocati per un eventuale approfondimento della prova scritta.