L'insegnamento di Analisi Matematica I costituisce la cerniera tra la scuola media superiore e l'università.
Lo scopo principale dell'insegnamento è di abituare gli studenti a seguire la concatenazione di semplici argomentazioni e insegnare loro gli elementi fondamentali del calcolo differenziale e integrale per le funzioni di una variabile, con applicazioni alle equazioni differenziali ordinarie del primo e, soltanto nel caso lineare, del secondo ordine. I numeri complessi verranno introdotti e quindi applicati alla rappresentazione delle soluzioni delle equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine a coefficienti costanti.

Capacità di seguire una catena di ragionamenti logici; comprensione delle proprietà essenziali del calcolo differenziale e integrale per funzioni di una variabile. Acquisizione di una sufficiente manualità di calcolo.

Insiemi numerici, equazioni e disequazioni, geometria analitica, trigonometria. Le funzioni elementari e le loro prime proprietà.

Richiami: insiemi, operazioni sugli insiemi e simboli logici.
Insiemi numerici, massimi e minimi, estremi. Proprietà di completezza dei numeri reali e sue conseguenze.
Funzioni: iniettività e suriettività; funzioni composte e inverse.
Funzioni reali di variabile reale: funzioni elementari, monotonia e inverse delle funzioni elementari. (Circa 15 ore)

Limiti e continuità: Limiti di funzioni e successioni; continuità. Teoremi sui limiti: unicità del limite, permanenza del segno e limitatezza locale, teoremi di confronto. Limiti di funzioni monotone. Algebra dei limiti. Forme indeterminate. Confronto di funzioni. Simboli di Landau. Infiniti e infinitesimi. Ordine di infinito e di infinitesimo, parte principale (rispetto a un dato campione). Asintoti.
Il numero e. Limiti notevoli trigonometrici ed esponenziali. Funzioni continue su un intervallo: esistenza degli zeri e dei massimi e minimi. (Circa 24 ore)

Derivate: significato geometrico e fisico. Regole di derivazione. Tabella delle derivate fondamentali.
Derivate e continuità. Punti di non derivabilità, punti di estremo e punti critici. Teorema di Fermat.
Funzioni derivabili su intervalli e teoremi fondamentali del calcolo differenziale (Rolle e Lagrange) e loro conseguenze. Regola di de L'Hospital.
Formula di Taylor e sviluppi di McLaurin fondamentali.
Uso degli sviluppi di Taylor nello studio del comportamento locale delle funzioni: confronto di funzioni, estremi, convessità. Applicazioni allo studio del grafico di funzioni. (Circa 23 ore)

Primitive e regole di calcolo delle primitive; primitive di funzioni razionali. Integrale indefinito.
Integrale di Riemann e sue proprietà: monotonia, additività e linearità dell'integrale; media integrale. Classi di funzioni integrabili.
Teorema fondamentale del calcolo integrale: relazione tra primitive e integrazione definita.
Integrali impropri: definizioni e criteri di convergenza. (Circa 21 ore)


Numeri complessi ed equazioni differenziali: forma algebrica e forma trigonometrica di numeri complessi. Parte reale, parte immaginaria, modulo e argomento. Radici di numeri complessi. Teorema fondamentale dell'algebra. Esponenziale di un numero complesso e formule di Eulero.
Equazioni differenziali: il problema di Cauchy. Equazioni differenziali del primo ordine, a variabili separabili.
Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti. (Circa 17 ore)

L'insegnamento consta di lezioni ed esercitazioni.

I testi consigliati, scelti tra quelli elencati, saranno comunicati a lezione dal docente titolare dell'insegnamento.

A. Bacciotti, Limiti, derivate, integrali (funzioni reali di una variabile reale), Celid, Torino 2006

C. Canuto, A. Tabacco, Analisi Matematica I, Springer-Verlag Italia, Milano 2008

L. Pandolfi, Analisi Matematica 1, Bollati-Boringhieri, Torino 1998

Materiale utile si trova anche in rete, sul sito del Politecnico di Torino o nelle pagine WEB dei singoli corsi.

La verifica dell'apprendimento avviene mediante prove scritte ed eventuale prova orale.