Il corso offre un'introduzione a metodi, modelli ed applicazioni delle equazioni alle derivate parziali, con particolare riguardo ai problemi al contorno o con dati iniziali per equazioni del primo e secondo ordine lineari.

Capacità di riconoscere il tipo di equazione e di impostarne la risoluzione sia in ambito classico sia in ambito variazionale. Capacità di rappresentare in casi semplici le soluzioni di alcune equazioni lineari (di trasporto, di Laplace/Poisson, del calore, delle onde). Capacità di studiare semplici problemi spettrali.

Calcolo differenziale e integrale per le funzioni di una e più variabili. Algebra lineare. Elementi di analisi funzionale. Distribuzioni. Serie di Fourier. Integrale di
Lebesgue e Spazi L^p.

Concetti di base: equazioni lineari, semi-lineari, quasi-lineari, non lineari. Esempi. Soluzione in senso classico ed in senso debole. L'equazione del trasporto. Equazioni lineari del prim'ordine, linee caratteristiche.

Equazioni lineari del secondo ordine. Classificazione. Il problemi di Cauchy e i problemi al contorno. Buona positura. Alcuni risultati per l'equazione della corda vibrante. Le equazioni di Laplace e di Poisson in senso classico e distribuzionale. Interpretazione fisica. Problemi al contorno di Dirichlet, Neumann, Robin. Risultati di unicità. Interpretazione geometrica dell'operatore laplaciano. Funzioni armoniche, proprietà della media, principio del massimo forte, dipendenza continua dal dato al bordo. Principio del massimo debole, dipendenza continua dai dati per la soluzione dell'equazione di Poisson. Casi particolari: l'equazione di Poisson sulla palla in dimensione n, con dati polinomiali. Il problema di Dirichlet per l'equazione di Laplace sulla palla in dimensione 2 e in dimensione n: formula di Poisson per la soluzione. Regolarità delle funzioni armoniche. Funzioni armoniche radiali in
R^n. La soluzione fondamentale del laplaciano. La soluzione dell'equazione di Poisson in R^n ed in un aperto limitato mediante la funzione di Green.

Spazi di Sobolev. Definizioni e proprietà dello spazio H^1(A), esempi di funzioni H^1. Le funzioni H^1 in dimensione 1 sono holderiane. Controesempi. Densità delle funzioni regolari in H^1. Generalizzazioni agli spazi H^k e W^{k,p}: definizioni, principali proprietà di
struttura e di densità. Caratterizzazione di H^1(\R^n) con la trasformata di Fourier. Gli spazi H^s con s reale. Teoremi di prolungamento e di traccia per H^1(A), con particolare riferimento al caso di un semispazio. Spazio H^{1/2}. Formula di integrazione per parti in
H^1(A). Spazio H^1_0(A). Disuguaglianze di Poincaré-Friedrichs e di Poincaré-Wirtinger. Teoremi di immersione continua e di immersione compatta per H^s. Gli spazi
duali di H^1 e H^1_0.

Problemi ellittici. Formulazione debole del problema con condizione miste Dirichlet-Neumann per operatori ellittici lineari del secondo ordine. Richiami al Teorema di Lax-Milgram. Buona positura, proprietà della soluzione debole, regolarità H^k all'interno, cenni sulla regolarità fino al bordo, controesempi.

Il principio del massimo di Stampacchia.

Teoria spettrale per problemi ellittici auto-aggiunti. Formualazione astratta. Esistenza di una base ortonormale di autofunzioni. Il caso particolare del laplaciano. Intepretazione
della costante di Poincaré. Applicazioni: la corda vibrante, la membrana quadrata, la membrana circolare. Cenno alle funzioni di Bessel. Risoluzione di problemi ellittici al contorno mediante sviluppo in serie di autofunzioni.

Problemi parabolici. L'equazione del calore, introduzione e prime proprietà. La conduzione del calore. Problemi ben posti in una dimensione spaziale. La frontiera parabolica. Un esempio elementare per separazione di variabili. Spazi di Sobolev dipendenti dal tempo. Formulazione debole del problema di Cauchy-Dirichlet per l'equazione del calore. Buona positura. Stime a priori. Risoluzione mediante rappresentazione in serie di autofunzioni del laplaciano (metodo di Faedo-Galerkin). Cenni sulla regolarità della soluzione nel caso di variabile spaziale unidimensionale. Nucleo del calore. Principio del massimo per il
problema di Cauchy-Dirichlet per l'equazione del calore.

Problemi iperbolici. Il problema di Cauchy-Dirichlet per l'equazione delle onde in n variabili. Formulazione debole e buona positura. Stime a priori. Rappresentazione della soluzione in
serie di autofunzioni del laplaciano. Cenni ad alcune proprietà della soluzione: regolarit\`a, conservazione dell'energia, reversibilità nel tempo.

The course provides an introduction to methods, models and applications for partial differential equations, mainly focusing on boundary value problems or initial value problems for linear equations of first and second order.

Knowledge and abilities to acquire
Ability to distinguish the type of equation and to set up its solution in a classical or variational frame work. Ability to represent in simple cases solutions of some linear equations (the transport equation, the Laplace/Poisson equation, the heat equation, the wave equation). Ability to solve simple spectral problems.

Prerequisite
Differential and integral calculus for functions of n real variables. Linear algebra. Elements of functional analysis. Distributions. Fourier series. Lebesgue integral and L^p spaces.

Programme
Basic definitions: linear, semi-linear, quasi-linear, non linear equations. Example. Classical and weak solutions. The transport equation. First order linear equations, characteristics.

Second order linear equations. Classification. Initial and boundary-value problems. e Well posedness. Some results for the vibrating string. Laplace and Poisson equations: classical and distributional solutions. Physical interpretation. Dirichlet, Neumann and Robin boundary conditions. Uniqueness results. Geometrical meaning of the Laplace operator. Harmonic functions, the mean-value property, the strong maximum principle, continuous dependance on the boundary value. The weak maximum principle, continuous dependance on the boundary value for the solution of the Poisson equation. Special cases: Poisson equation in the n-dimensional ball, with polynomial data. The Dirichlet problem for the Laplace operator in the 2-dimensional disc and in dimension n: Poisson formula for the solution. Regularity of harmonic functions. Radial harmonic functions in R^n. The fundamental solution for the Laplace operator.The solution of the Poisson equation in R^n and in a bounded open set through the Green’s function.

Sobolev spaces. Definitions and properties of the space H^1(A), examples of H^1 functions. H^1 functions in dimension 1 are holder-continuous. Counterexamples. Density of smooth functions in H^1. Generalizations to the speces H^k and W^{k,p}: definitions, main properties. Characterization of H^1(\R^n) by means of the Fourier transform. The spaces H^s for real values of s. Extension and trace theorems for H^1(A), in particular when A is a half-space. The space H^{1/2}. Integration by parts in H^1(A). The space H^1_0(A). Poincaré-Friedrichs and Poincaré-Wirtinger inequalities. Continuous and compact embedding results for H^s. The dual spaces of H^1 e H^1_0.

Elliptic problems. Weak formulation of the Dirichlet-Neumann problem for per linear elliptic second order operators. The Lax-Milgram theorem. Well-posedness, properties of the weak solution, H^k regularity, counterexamples.

The Stampacchia maximum principle.

Spectral theory for elliptic self-adjoint problems. Eistence of a, ortonornal basis of eigenfucntions. The special case of the Laplace operator. Intepretation of Poincaré constant. Applications: the vibranting string, the square and circular membrane. Bessel functions. Solution to elliptic boundary-value problems in series of eigenfucntions.

Parabolic problems. The heat equation, introduction and first properties. Heat conduction. Well-posed problems in one spacial dimension. The parabolic boundary. A simple example by separation of variables. Time dependent Sobolev spaces. Weak formulation of the Cauchy-Dirichlet problem for the heat equation. Well-posedness. A-priori estimates. Representation of the solutions in series of eigenfunctions (Faedo-Galerkin method). Regularity of the solution in the case of one spacial dimension. The heat kernel. The maximum principle for the Cauchy-Dirichlet problem for the heat equation.

Hyperbolic problems. The Cauchy-Dirichlet problem for the wave equation in n variables. Weak formulation and well-posedness. A-priori estimates. Representation of the solutions in series of eigenfunctions. Some properties of the solutions: regularity, conservation of Energy, reversibility in time.

Practical exercises
Practical exercises are devoted to applications of the theoretical results presented in the lectures.

Le esercitazioni si svolgono in aula e consistono nell'applicazione a casi concreti dei risultati teorici sviluppati nel corso.

Dispense ed esercizi sono resi disponibili sul portale della didattica per gli studenti
iscritti al corso.
Un testo consigliato:
S. Salsa, Equazioni a derivate parziali: metodi, modelli e applicazioni, Springer, seconda edizione.
Altri testi pertinenti:
L. C Evans. Partial differential equations, AMS 1998.
P.E. Garabedian, Partial differential equations, John Wiley & Sons, 1964.
H.F. Weinberger, A first course in partial differential equations, Blaishdell Publishing Company, 1965.
A.N. Tihonov, A.A: Samarski, Equazioni della fisica matematica, Mir 1981.

Teaching material and exrcises are available on "portale della didattica". Suggested book: S. Salsa, Equazioni a derivate parziali: metodi, modelli e applicazioni, Springer, seconda edizione. Other related references: L. C Evans. Partial differential equations, AMS 1998. P.E. Garabedian, Partial differential equations, John Wiley & Sons, 1964. H.F. Weinberger, A first course in partial differential equations, Blaishdell Publishing Company, 1965. A.N. Tihonov, A.A: Samarski, Equazioni della fisica matematica, Mir 1981.

Di norma l'esame consiste in una prova scritta comprensiva di quesiti teorici ed esercizi su tutti gli argomenti del corso. Dopo una prova scritta sufficiente, su richiesta del docente o dello studente, può svolgersi un colloquio orale: in questo caso il voto finale dell'esame tiene conto sia dell'esito della prova scritta che di quello del colloquio orale. In caso contrario, il voto della prova scritta costituisce il voto finale dell'esame.

The standars exams consists in a written test which includes theoretical questions and practical exercises on all the topics of the course. After a written test whose mark is not below 18/30, upon request of the professor or of the student, an oral interview may also take place: in this case the final mark of the exam takes into account both the written test and the oral interview. Otherwise, the mark of the written test is the final mark of the exam.contrario, il voto della prova scritta costituisce il voto finale dell'esame.