Il corso completa la formazione di base dello studente con riferimento sia ai contenuti dei corsi di Analisi Matematica e Geometria.
Nel corso vengono presentati elementi di algebra astratta, preceduti da una introduzione riguardante i fondamenti della matematica.
L’obbiettivo è di introdurre e sviluppare i concetti fondamentali dell'algebra e della geometria differenziale di curve e superfici, con particolare attenzione agli aspetti computazionali.

Acquisizione del linguaggio e delle tecniche di ragionamento propri di questo settore della matematica ed essere in grado di risolvere semplici problemi relativi agli argomenti trattati.
Capacità di formalizzare problemi algebrici e geometrici e di utilizzare le tecniche di analisi matematica (sistemi di equazioni differenziali ordinarie, funzioni olomorfe etc.) nello studio delle curve e superfici (geodetiche, deformazioni isometriche, superfici minimali).

Geometria e Analisi matematica II

Fondamenti di matematica:
dimostrazioni, assiomi, principio di induzione matematica, errori e paradossi, insiemi finiti e infiniti;

Algebra astratta:
gruppi, sottogruppi, omomorfismi, gruppi quoziente,
anelli, ideali, anelli quoziente, domini d'integrità,
campi.

Geometria differenziale:
Curve parametrizzate
Curve parametrizzate degli spazi Euclidei. Traiettoria di una curva parametrizzata.
Spirali, lemniscata di Gerono, curve di Grandi, eliche, curve Legendriane.
Curve regolari e retta tangente. Punti di flesso e curve biregolari. Il piano osculatore.
Curve descritte da moti epicicloidali piani e sferici.
Cambi di parametro.
Ascissa curvilinea e parametrizzazioni mediante l'ascissa curvilinea.
Come risolvere numericamente il problema della parametrizzazione mediante l'ascissa curvilinea.
Lunghezza di un arco di curva e curve rettificabili.
Rettificabilità delle curve di classe C1.
Curve piane definite implicitamente.
Retta tangente a una curva piana definita implicitamente.
Parametrizzazione di una curva piane definita implicitamente.
Come risolvere numericamente il problema della parametrizzazione di una curva piana data in forma implicita.

Curve dello spazio Euclideo
Sistemi lineari di equazioni differenziali ordinarie.
Triedro di Frenet, curvatura e torsione.
Formule di Frenet.
Calcolo della curvatura e della torsione.
Esempi e programmi di calcolo.
Caratterizzazione delle curve piane.
Invarianza per cambi di parametro.
Teorema di esistenza e unicità delle curve bi-regolari con velocità, curvatura e torsione assegnate.
Eliche o curve con pendenza costante. Eliche sferiche.
Curve sferiche e curve di Bertrand
Inviluppi di famiglie a un parametro di rette e di cerchi. Caustiche, evolventi ed evolute di curve piane.

Superfici parametrizzate
Superfici parametrizzate dello spazio Euclideo
Superfici topografiche e grafici di funzioni.
Superfici di rotazione (tori di rotazione, pseudosfera di Beltrami, la catenoide).
Superfici rigate (sviluppabili tangenziali, coni, cilindri, elicoide).
Superfici modanate e tubi.
Spazio tangente e retta normale.
Punti ellittici, iperbolici e parabolici.
Curve tracciate su superfici e linee coordinate.
Interpretazione geometrica del piano tangente.
Superfici definite in forma implicita.
Equazione implicita di una superficie di rotazione e dei cilindri.
Esistenza delle parametrizzazioni locali delle superfici definite implicitamente.
Lo spazio tangente a una superficie definita in forma implicita.
Costruzione di superfici chiuse e limitate di genere g.
Un cenno sul teorema di classificazione delle superfici chiuse e limitate dello spazio Euclideo

Superfici dello spazio Euclideo
Superfici liscie dello spazio Euclideo
Parametrizzazioni e carte locali, funzioni di transizione e l'atlante differenziabile di una superficie liscia dello spazio Euclideo.
Carte e atlanti di Monge.
Esempi : atlanti sulla sfera e sui tori di rotazione.
Funzioni differenziabili.
Superfici diffeomorfe.
Vettori tangenti e campi vettoriali.
Curve integrali dei campi vettoriali.
Orientabilità e atlanti orientati.
Il nastro di Moebius.
Caratterizzazione dell'orientabilità di superfici nello spazio Euclideo.
Orientabilità delle superfici compatte dello spazio Euclideo

La prima forma quadratica di una superficie
I coefficienti locali della prima forma quadratica
Come cambiano i coefficienti della metrica rispetto ai cambi di parametri.
Esempi : la prima forma quadratica di una superficie di rotazione, programmi di calcolo per i coefficienti della prima forma quadratica.
Isometrie e isometrie locali.
Esempi : la deformazione isometrica dell'elicoide nella catenoide. Superfici sviluppabili. Le isometrie della sfera e della metrica di Poincarè del disco unitario.
Ascissa curvilinea e la distanza indotta dalla prima forma quadratica.
Elemento d'area e integrazione di funzioni su superfici orientate.
La derivazione covariante di Levi-Civita e i simboli di Christoffel
Esempi e programmi di calcolo per i simboli di Christoffel.
La curvatura sezionale di una metrica Riemanniana.
Esempi e programmi di calcolo.
Invarianza per isometrie.
Enunciato del teorema di Gauss-Bonnet e di teoremi relativi al problema dell'immersione isometrica.

Geodetiche
Derivazione covariante di campi vettoriali lungo curve.
Il diedro di Frenet di una curva tracciata su una superficie.
La curvatura geodetica.
Teorema di esistenza e unicità delle curve con curvatura geodetica assegnata.
Programmi di calcolo e visualizzazione.
Esempi : curve piane, sferiche e iperboliche.
Le geodetiche di una superficie.
Il principio di minima azione e le equazioni di Eulero-Lagrange.
Geodetiche come curve stazionarie del funzionale energia.
Esempi : geodetiche delle superfici di rotazione e geodetiche del piano iperbolico. Geodetiche dei cilindri rotondi e dei coni rotondi.
Geodetiche delle superfici definite implicitamente.

La seconda forma quadratica
La mappa di Gauss, l'operatore forma e la seconda forma quadratica.
Coefficienti dell'operatore forma e della seconda forma quadratica.
Programmi di calcolo ed esempi : superfici topografiche.
Curvature principali, curvatura Gaussiana e curvatura media.
Programmi di calcolo ed esempi : superfici topografiche, sfera e le superfici della deformazione isometrica dell'elicoide nella catenoide.
Congruenza ed equivalenza di superfici.
Invarianza delle curvature rispetto alle equivalenze.
Classificazione dei punti di una superficie e significato geometrico.
Superfici totalmente ombelicali.
Equazioni di Gauss (teorema "egregium") ed equazioni di Codazzi-Mainardi.
Il teorema fondamentale della geometria locale delle superfici dello spazio Euclideo.
Come ricostruire numericamente la superficie a partire da una coppia di forme quadratiche che soddifano le equazioni di Gauss-Codazzi-Mainardi.
Esempi : le Ciclidi di Dupin.

Per ogni argomento sono state svolte esercitazioni mirate al calcolo simbolico e/o numerico di esempi e classi rilevanti di curve o superfici. Particolare attenzione e’ stata posta nella visualizzazione. Il software utilizzato e’ Mathematica 7. Il materiale (Notebook Laboratori 1,2,3,4) si trova sul sito docente del titolare, Prof. Emilio Musso, 01EAUFN, elementi di geometria differenziale, Materiale.

M. Artin Algebra Proposte di Matematica, Fisica, Elettronica, ed. Bollati-Boringhieri 1997
T. Leighton Lectures on Mathematics for Computer Science Appunti MIT 1997
L.Picco Botta Appunti di Algebra I Quaderni Università di Torino 2004 (in rete
M. Roggero Appunti ed esercizi di matematica discreta Quaderni Università di Torino 2003 (in rete)
E.Abbena, A.Gray, S.Salamon, Modern Geometry of Curves and Surfaces, Chapman & Hall/CRC
F.Fava, Elementi di Geometria Differenziale, Levrotto e Bella
Sono stati messi a disposizione degli studenti
files pdf relativi a parti del libro di testo (con concessione degli autori)
testi di esercizi e/o prove d’esame.
Notebbok contenenti gli argomenti trattati durante il corso.
Tutto il materiale si trova sul sito docente del Prof. Emilio Musso, 01EAUFN, elementi di geometria differenziale, Materiale.

Tre esercitazioni scritte in itinere (con autovalutazione dal parte dello studente).
L’esame finale consiste in una prova scritta mirata ad evidenziare il livello di apprendimento mediante esercizi. La formulazione degli stessi e’ congeniata in modo che la loro risoluzione richieda non solo un’adeguata capacita’ di calcolo, ma anche una comprensione approfondita dei concetti e dei risultai teorici trattati e dimostrati nelle lezioni.

Descrizione dettagliata dei metodi con cui si accerta che l’allievo abbia effettivamente acquisito le conoscenze e le abilità previste. Indicare le regole con cui viene formulata la valutazione finale (voto d’esame).