The course is taught in English.

Gli obiettivi principali del corso sono: la descrizione e classificazione di equazioni alle derivate parziali rappresentanti modelli matematici generati da problemi classici dell’ingegneria, la costruzione e analisi di metodi agli elementi finiti per la risoluzione numerica di tali equazioni. Verranno inoltre fornite le conoscenze necessarie per risolvere problemi di ingegneria mediante programmi di calcolo scritti in ambiente Matlab.

Capacità di riconoscere e classificare un’ equazione alle derivate parziali. Conoscenza dei metodi degli elementi finiti per la risoluzione numerica di problemi di ingegneria descritti da equazioni differenziali; capacità di selezionare o costruire un metodo efficiente per la risoluzione di un dato problema, utilizzando il software Matlab.

Nozioni di base di algebra lineare, di analisi matematica I e II, di calcolo numerico e capacità di programmazione in ambiente Matlab.

- Alcune nozioni di base sugli spazi funzionali lineari: spazi lineari normati, spazi di Banach, spazi di Hilbert,
operatori lineari, forme lineari e bilineari.
Distribuzioni, derivate deboli, spazi di Sobolev.
Formule di integrazione per parti. (9 ore)
- Generalità sulle equazioni alle derivate parziali del secondo ordine: classificazione e descrizione di alcuni esempi classici. Soluzioni fondamentali.
Formulazione debole di problemi con valori ai limiti descritti da equazioni differenziali lineari del secondo ordine, sia alle derivate ordinarie che alle derivate parziali, di tipo ellittico. Il Lemma di Lax-Milgram. (12 ore)
- Introduzione ai metodi numerici per le equazioni alle derivate parziali: alcuni concetti di base .
Il metodo di Galerkin. Consistenza, stabilità e convergenza.
Elementi finiti e spazi lineari di elementi finiti. Definizioni ed esempi. Alcuni risultati fondamentali di teoria
dell’approssimazione. (6 ore)
- Applicazione del metodo FEM a problemi lineari ellittici in 1D e 2D, con vari tipi di condizioni al bordo.
Costruzione delle matrici di rigidezza. Formule di integrazione numerica.
Metodi iterativi per sistemi lineari sparsi.
Alcuni risultati di convergenza. (12 ore)
- Il metodo FEM per problemi lineari dipendenti dal tempo.
Formulazione debole di problemi parabolici e applicazione del metodo FEM.
Sistemi ODE stiff.
Schemi alle differenze finite per l’avanzamento nel tempo.
Alcuni commenti sul metodo FEM per problemi iperbolici. (9 ore)

Nel programma sono incluse anche delle esercitazioni in aula.

Sono previste esercitazioni in laboratorio (12 ore) per la simulazione numerica delle proprietà dei metodi presentati e per la risoluzione, in ambiente Matlab, di alcuni problemi di ingegneria.

Note del docente.
A. Quarteroni, Numerical models for differential problems, Springer Verlag, 2009.
oppure la versione italiana:
A. Quarteroni, Modellistica numerica per problemi differenziali, Springer Verlag Italia, 2008.

Al termine delle esercitazioni in laboratorio è prevista una verifica delle abilità acquisite.
Negli appelli in calendario l'esame consiste in una prova scritta, della durata di 1 ora e mezza circa, e riguarda l'intero programma.
Durante le prove scritte non è consentito consultare testi o appunti e utilizzare calcolatrici.