Lo sviluppo della teoria matematica dei sistemi dinamici e' motivato, oltre che dal suo fascino concettuale e dalla sua geometrica eleganza, dal ruolo fondamentale che svolge nell'analisi e nel controllo dei fenomeni non lineari,
della complessita', del caos deterministico.

La prima parte del corso ha per tema la stabilita' nel senso di Liapunov; si tratta di uno dei concetti piu' semplici, ma basilari della teoria dei sistemi dinamici,
del quale vengono messi in luce sia gli aspetti topologici che quelli differenziali.
La trattazione e' condotta prevalentemente per i sistemi a tempo continuo.
Oltre al metodo delle funzioni di Liapunov, viene presentato il metodo della varieta' centrale.
Come premessa allo studio della stabilita' dei cicli viene data un'introduzione ai sistemi dinamici discreti e alla teoria di Floquet.
Tra i contenuti, sono inclusi i metodi di linearizzazione, la stabilita' strutturale, un accenno alla teoria delle biforcazioni dell'equilibrio nei casi piu' elementari.

La seconda parte del corso affronta in maniera piu' diretta il problema del comportamento asintotico dei sistemi non lineari di tipo oscillatorio (cicli limite). Vengono studiate e analizzate dinamiche complesse con attrattori strani e caotici. Viene estesa la teoria delle biforcazioni ai cicli e ai tori.
Tra gli scopi primari del corso vi e' un approfondito studio del metodo della funzione descrittiva, del metodo del bilanciamento armonico e le loro applicazioni numeriche.
Durante il corso, vengono presentati in dettaglio alcuni esempi classici: oscillatore di Chua, mappa di Bernoulli, mappa tenda e mappa logistica.

Capacita' di studiare la stabilita' della posizione d'equilibrio di un sistema dinamico non lineare
in tempo continuo, per mezzo del metodo di linearizzazione, del metodo delle funzioni di Liapunov,
del metodo della varieta' centrale. Capacita'
di discutere semplici casi di biforcazione.

Capacita' di determinare ed analizzare qualitativamene e numericamente
i moti oscillatori presenti nei sistemi dinamici di interesse per varie discipline applicate, ed in particolare per
l'ingegneria
elettrica ed elettronica.

Analisi matematica, geometria, elettrotecnica.

Prima parte.
Sistemi lineari. Sistemi dinamici negli spazi metrici.
Posizioni d'equilibrio, cicli, orbite eterocline e omocline. Insieme limite e sue proprieta'.
Teoria di Poincare'-Bendixson.
Stabilita' e attrattivita' degli insiemi compatti. Regione di attrazione.
Teoremi di Liapunov. Principio di invarianza.
Stabilita' in prima approssimazione. Equivalenza topologica,
Teorema di Hartman-Grobman. Stabilita' strutturale.
Teoria della varieta' centrale e applicazioni.
Biforcazioni dell'equilibrio e loro classificazione elementare.
Forme normali (teoria di Dulac-Poincare').
Sistemi dinamici discreti, teoria di Floquet.


Seconda parte.
Comportamento asintotico dei sistemi non lineari. Cicli e mappa di Poincare'.
Sistemi con comportamento complesso: oscillatore di Chua.
Attrattori strani e attrattori caotici.
Biforcazioni di punti d'equilibrio, di cicli, di tori.
Metodo della funzione descrittiva.
Oscillatore di Lur'e.
Metodo del bilanciamento armonico
Criterio di Loeb.
Mappa di Bernoulli, mappa tenda e mappa logistica.

L'esame consiste in un colloquio orale sugli aspetti teorici del corso. Lo studente dovra' anche svolgere e discutere alcuni esercizi di simulazione relativi alla seconda parte del corso.