Il corso é diviso in due parti. La prima parte richiama gli strumenti fondamentali di calcolo numerico, della programmazione matlab e dell’ingegneria dei materiali con lo scopo di prevedere numericamente il comportamento micro- e mesoscopico dei materiali durante la loro sintesi o il loro comportamento in opera. La seconda parte fornisce dapprima i principi fondamentali che governano i fenomeni di trasporto in mezzi continui con l’ausilio dell’analisi tensoriale; il corso termina con la derivazione matematica degli elementi finiti e della relativa applicazione alla simulazione del comportamento dei materiali sotto l’influenza indotta da vari campi fisici applicati, in particolare termici, meccanici e fluidodinamici. Lo scopo principale del corso é fornire gli strumenti numerici e di calcolo per la previsione del comportamento dei materiali in fase di produzione/sintesi (progettazione) o durante il suo funzionamento in opera (ottimizzazione).

Partendo dalla conoscenza dell’ambiente matlab e dei metodi numerici (integrazione e derivazione numerica, calcolo degli zeri, massimi e minimi di funzioni, integrazione delle equazioni differenziali alle derivate ordinarie e al contorno, interpolazione e best fitting di dati) vengono svolti in laboratorio esempi di calcolo applicati a problemi d’interesse pratico (processi di riscaldamento/raffreddamento, calcolo delle tensioni in sistemi 3D con l’ausilio dell’analisi tensoriale, costruzione numerica dei diagrammi di stato, determinazione delle proprietà meccaniche da dati sperimentali di prove di trazione norma ISO 6892-2009, descrizione del profilo di una lamiera imbutita, ecc.). Nella seconda parte vengono introdotte le principali leggi costitutive dei materiali (Fick, Ohm, Hooke, Darcy, Fourier), derivate le equazioni di bilancio (massa, energia, quantità di moto), illustrate le principali condizioni al contorno, dedotta l’equazioni di Navier-Stokes e la sua applicazione a problemi fluidodinamici (problema del viscosimetro e casi affini); classificate le equazioni differenziali alle derivate parziali in funzione dei coefficienti. La teoria degli elementi finiti (metodo di Rayleigh-Ritz, variazionale, Galerkin) viene introdotta con l’ausilio di esercizi numerici applicati ai sistemi discreti e quindi ai sistemi continui monoelemento. La generalizzazione della teoria a problemi multielemento, multidimensionale, transitori, non lineari e multicampo viene illustrata con il minimo di nozioni matematiche in favore di un esteso impiego di esempi numerici in parte svolti in classe in parte assegnati e in parte risolti al computer (sistema di molle caricate da una forza, conduzione termica e deformazione elastica in sistemi multilmento). Le capacità richieste comprendono: l’applicazione dei metodi numerici e limpiego della programmazione matlab per simulare problemi di ingegneria dei materiali; la definizione e la risoluzione di problemi fluidodinamici regolati dall’equazione di Navier-Stokes; la risoluzione di problemi termici e meccanici in sistemi monoelemento con i tre metodi degli elementi finiti illustrati.

L’allievo che accede a questo insegnamento deve conoscere i principi fondamentali alla base delle tecniche di produzione e della scienza dei materiali con particolare riguardo ai diagrammi di stato, ai meccanismi di deformazione plastica nonché ai principi che regolano I fenomeni cinetici diffusivi e delle trasformazioni di fase. E’ auspicabile avere una sufficiente preparazione di informatica di base e di scienza delle costruzioni.

Il corso approfondirà i seguenti argomenti:
Parte I
1.0 Introduzione: l’impiego dei metodi numerici nella scienza dei materiali; sviluppo della microstruttura, modelli multiscala (spaziale e temporale) della microstruttura; modelli di dinamica molecolare, Monte Carlo, DSMC, KMC.
1.1 multifisica dei processi e dei materiali; esempi pratici;
1.2 Classificazione dei modelli; definizione di un modello numerico;
1.3 Validazione numerica e sperimentale di un modello.

2. Metodi numerici
2.0 Numeri macchina, errori di arrotontamento e troncamento; sistemi mal-condizionati; epsilon della macchina; cancellazione numerica
2.1 Risoluzione di sistemi algebrici: richiami teorici ed esercizi
2.2 Integrazione numerica (metodo di Simpson, di Gauss 1D, eì2D e 3D); richiami teorici ed esercizi
2.3 Zeri di una funzione (metodo di bisezione, di Newton): richiami teorici ed esercizi
2.4 Minimi e massimi di una funzione: richiami teorici ed esercizi
2.5 Derivazione numerica: richiami teorici ed esercizi
2.6 Interpolazione polinomiale, esplonenziale, spline cubiche; interpolazione di ordine variabile 1D, 2D e 3D: richiami teorici ed esercizi
2.7 Risoluzione di sistemi di equazioni non lineari: richiami teorici ed esercizi
2.8 Risoluzione di sistemi di equazioni differenziali ordinarie (metodi di Eulero forward e backward, C-N, R-K) e al valore al contorno (BVP): richiami teorici ed esercizi (riscaldamento-raffreddamento di una barra con generazione di calore interna, reazioni chimiche in un reattore-stiffness)

3. Ambiente matlab.
3.0 Introduzione all’ambiente: variabili, vettori, matrici, funzioni, operazioni, operazioni I/O, ecc.
3.2 Risoluzione di sistemi di equazioni algebriche: operazioni tra matrici e vettori: esercizi
3.3 Funzioni grafiche
3.4 Programmazione matlab (cicli for, if-then-else, switch-case); esercizi

4. Equazioni ingegneristiche alle derivate parziali
4.0 Classificazione delle equazioni alle derivate parziali in funzione dei coefficienti (equazioni paraboliche, ellittiche, iperboliche); caratteristiche peculiari delle equazioni d’interesse ingegneristico.

5. Equazioni di Bilancio in sistemi continui
5.0 Equazioni di trasporto: derivazione delle equazioni di bilancio (energia, massa e quantità di moto); deduzione dell’equazione di Navier-Stokes in coordinate cartesiane; condizioni al contorno tipiche; risoluzione del problema 1D del viscosimetro (energia e quantità di moto); generalizzazione a sistemi continui in coordinate cilindriche e polari.

6. Il metodo ad elementi finiti (FEM)
6.0 Formulazione in sette passi; principali leggi costitituive: Fourier, Hooke, Ohm, Darcy, Fick; condizioni al contorno di Dirichlet, flusso, convezione e irraggiamento; confronto con altri metodi di discretizzazione;
6.1 Metodo FEM applicato a sistemi discreti:
derivazione delle matrici dell’elemento nel caso di problemi meccanici, elettrici, termici, fluidodinamici; risoluzione fem di un sistema di molle caricato da una forza concentrata in un nodo.
6.2 Metodo FEM applicato a sistemi continui retti da equazioni alle derivate parziali quasi-armoniche; caso speciale della conduzione del calore;
6.3 funzioni di forma e integrazione numerica in elementi 1D, 2D e 3D;
6.4 Metodo variazionale, metodo di Rayleigh-Ritz e metodo di Galerkin applicato alle equazioni PDE; sviluppo della teoria con l’auslio di esempi esercizi numerici;
6.5 Derivazioni delle matrici dell’elemento termico conduttivo, elementi finiti isoparametrici (1D)
6.6 Estensione a elementi 2D e 3D; ordine superiore al primo; estensione problemi non lineari con proprietà del materiale, condizioni al contorno e sorgente termica interna dipendente dalla temperatura; estensione a problemi transitori; estensione a problemi meccanici a comportamento elastico.

Data la specifica natura del corso, a meno di alcune sporadiche lezioni prettamente teoriche (relative per lo più alle parti 4, 5, e 6 che vengono svolte in aula) la stragrande maggioranza delle lezioni viene presentata in laboratorio; ciò permettere agli studenti l’immediata applicazione dei concetti teorici - impartiti nella prima parte della lezione - alla risoluzione di problemi d’interesse pratico o ingegnerstico con l’ausilio del computer. Durante le esercitazioni e le attività di laboratorio lo studente viene guidato alla fomulazione fisico-matematica di un problema pratico/ingegneristico, alla scelta dei metodi di soluzione, alla compilazione degli script (programmi di soluzione matlab); alla risoluzione numerica del problema; alla migliore rappresentazione grafica e all'interpretazione fisica dei risultati; alla validazione numerica e sperimentale dei modelli sviluppati.

1. S. Nakamura, Numerical analysis and graphic visualization with matlab, Prentice Hall
2. J.A. Dantzig, C.L. Tucker, Modeling in materials processing, Cambridge University Press.
3. Petr Krysl, A pragmatic introduction to the finite element method for thermal and stress analalysis with matlab toolkit, World Scientific.
4. Francesco Cesari, Analisi di problemi termici col metodo degli elementi finiti (illustrato), Pitagora.
5. Materiale didattico fornito dal docente sottoforma di presentazioni powerpoint, note descrittive e articoli estratti dalle note riviste scientifiche internazionali d’ingegneria.

L’esame comprende una prova scritta e una prova orale. La prova scritta consiste nello sviluppo di un miniproject, che può essere svolto singolarmente o in coppia. Lo svolgimento avviene solitamente dopo il completamento delle lezioni, poiché si dispone di tutti gli strumenti necessari per il suo sviluppo. Il tema é a scelta dello studente, mentre il materiale di supporto é fornito dal docente. Il miniproject tratta in genere un problema di progettazione dei materiali, connesso cioé alla previsione della microstruttura e alle sue proprietà in funzione di fattori fisici/chimici esterni, ovvero la simulazione di processi produttivi su varie tipologie di materiali. In caso di necessità gli studenti possono richiedere il supporto del docente (per email o personalmente) in qualsiasi momento durante lo sviluppo del miniproject. La prova scritta consiste in una relazione finale nella quale lo studente evidenzia gli aspetti oggetto di verifica: apprendimento dell’argomento oggetto di studio, scelta degli algoritmi fra quelli sviluppati a lezione, sviluppo dello script matlab, validazione numerica e sperimentale del modello sviluppato; interpretazione dei risultati ottenuti; natura delle difficoltà (eventuali) riscontrate nello sviluppo del miniproject.
L’esame orale mira ad accertare le conoscenze fondamentali relative alle equazioni ingegneristiche (parte 4), alla teoria ed applicazioni rispettitamente delle equazioni di trasporto, in particolare la conduzione termica e l’equazione di Navier-Stokes, (parte 5) e degli elementi finiti (parte 6). La prova orale consiste in due domande incentrate rispettivamente sulle parti 4/5 e 6 in modo da valutare la capacità dello studente nel risolvere un esercizio pratico-ingegneristico con diretto richiamo alla teoria sviluppata a lezione. Le domande possono essere inoltre occasione per stimolare approfondimenti da parte del candidato che possano far valutare meglio il suo grado di apprendimento.