L’insegnamento di Analisi Matematica 1 costituisce la cerniera tra la scuola media superiore e l’universita’.

Lo scopo principale dell’insegnamento e’ di abituare gli studenti a seguire la concatenazione di semplici argomentazioni e insegnare loro gli elementi fondamentali del calcolo differenziale e integrale per le funzioni di una variabile, con applicazioni alle equazioni differenziali ordinarie del primo e, soltanto nel caso lineare, del secondo ordine. I numeri complessi verranno introdotti e quindi applicati alla rappresentazione delle soluzioni delle equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine a coefficienti costanti.

Capacita’ di seguire una catena di ragionamenti logici; comprensione delle proprieta’ essenziali del calcolo differenziale e integrale per funzioni di una variabile. Acquisizione di una sufficiente manualita’ di calcolo.

Insiemi numerici, equazioni e disequazioni, geometria analitica, trigonometria. Le funzioni elementari e le loro prime proprieta’.

Richiami: insiemi, operazioni sugli insiemi e simboli logici.
Insiemi numerici, massimi e minimi, estremi. Proprieta’ di completezza dei numeri reali e sue conseguenze.
Funzioni: iniettivita’ e suriettivita’; funzioni composte e inverse.
Funzioni reali di variabile reale: funzioni elementari, monotonia e inverse delle funzioni elementari. (Circa 15 ore)

Limiti e continuita’: Limiti di funzioni e successioni; continuita’. Teoremi sui limiti: unicita’del limite, permanenza del segno e limitatezza locale, teoremi di confronto. Limiti di funzioni monotone. Algebra dei limiti. Forme indeterminate. Confronto di funzioni. Simboli di Landau. Infiniti e infinitesimi. Ordine di infinito e di infinitesimo, parte principale (rispetto a un dato campione). Asintoti.
Il numero e. Limiti notevoli trigonometrici ed esponenziali. Funzioni continue su un intervallo: esistenza degli zeri e dei massimi e minimi. (Circa 24 ore)

Derivate: significato geometrico e fisico. Regole di derivazione. Tabella delle derivate fondamentali.
Derivate e continuita’. Punti di non derivabilita’, punti di estremo e punti critici. Teorema di Fermat.
Funzioni derivabili su intervalli e teoremi fondamentali del calcolo differenziale (Rolle e Lagrange) e loro conseguenze. Regola di de L'Hospital.
Formula di Taylor e sviluppi di McLaurin fondamentali.
Uso degli sviluppi di Taylor nello studio del comportamento locale delle funzioni: confronto di funzioni, estremi, convessita’. Applicazioni allo studio del grafico di funzioni. (Circa 23 ore)

Primitive e regole di calcolo delle primitive; primitive di funzioni razionali. Integrale indefinito.
Integrale di Riemann e sue proprieta’: monotonia, additivita’ e linearita’ dell'integrale; media integrale. Classi di funzioni integrabili.
Teorema fondamentale del calcolo integrale: relazione tra primitive e integrazione definita.
Integrali impropri: definizioni e criteri di convergenza. (Circa 21 ore)

Numeri complessi ed equazioni differenziali: forma algebrica e forma trigonometrica di numeri complessi. Parte reale, parte immaginaria, modulo e argomento. Radici di numeri complessi. Teorema fondamentale dell'algebra. Esponenziale di un numero complesso e formule di Eulero.
Equazioni differenziali: il problema di Cauchy. Equazioni differenziali del primo ordine, a variabili separabili.
Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti. (Circa 17 ore)

L’insegnamento consta di lezioni ed esercitazioni.

La verifica dell’apprendimento avviene mediante un test e, eventualmente, una prova scritta e una prova orale. Piu' precisamente, il test, della durata di un'ora, consiste in 20 domande a risposta multipla su calcolatore con quesiti sia di tipo teorico sia di tipo pratico. Lo studente che abbia superato il test, puo’ decidere di concludere l' esame col solo test, oppure di presentarsi a sostenere una prova scritta contenente esercizi e teoria. Nel caso che questa venga superata, a richiesta o dello studente o del docente, puo’ svolgersi anche una prova orale.