Scopo del corso è l'acquisizione di metodologie di costruzione e valutazione di modelli matematici applicati alla fisiologia (cellulare e dei sistemi) e alla biologia. I modelli costruiti verranno analizzati sia con metodi analitici (trasformate, funzione di Green, metodo delle caratteristiche, separazione delle variabili, metodo delle perturbazioni, studio di biforcazione) che numerici (applicati a equazioni differenziali alle derivate ordinarie o parziali).

Per una proficua frequentazione del corso, si consiglia di aver acquisito le nozioni principali dei corsi di Analisi I e Analisi II.

Fisiologia cellulare
1. Modelli cinetici (cinetica enzimatica, teoria di Michaelis-Menten, reazioni competitive-allosteriche-cooperative).
2. Omeostasi cellulare (membrana semipermeabile: elettrodiffusione, potenziale di Nernst, modello GHK; controllo del volume cellulare).
3. Canali ionici (equazione di Poisson-Nernst-Planck, modello di Hodgkin e Huxley).
4. Analisi qualitativa del modello di Hodgkin e Huxley (fast phase plane, slow-fast phase plane, modello di FitzHugh e Nagumo).
5. Trasporto passivo nei neuroni.

Fisiologia dei sistemi
1. Sistema circolatorio (microcircolazione, modello compartimentale del sistema circolatorio).
2. Sistema respiratorio (diffusione attraverso una interfaccia, ventilazione).
3. Sangue.
4. Sistema motorio.

A ciascuno dei 9 temi elencati viene fornito un peso indicativamente paritario. Comunque, in funzione degli interessi degli studenti, alcuni temi potranno essere approfonditi o sostituiti da altri (ad esempio, formazione di pattern o modelli in epidemiologia), mantenendo però un ampio spettro di applicazioni e di metodi matematici discussi.

I modelli matematici sono studiati sia con metodi analitici, che numerici (simulazione numerica in Matlab, durante esercitazioni in laboratorio). Riguardo ai metodi analitici, verrà fornita un’introduzione alla teoria dei sistemi dinamici (isocline, punti stazionari, biforcazione, cicli limite, mappe di Poincarè, teoria di Floquet, catastrofi) e saranno discussi metodi per lo studio di equazioni con ritardo e delle equazioni classiche della fisica matematica (equazione di diffusione, del potenziale, delle onde) nella versione lineare e non lineare (e.g., equazioni di reazione e diffusione, onde d’urto). Riguardo ai metodi numerici, verrà fornita un’introduzione all’inversione di sistemi lineari e ai metodi delle differenze finite e degli elementi finiti.

Infine, viene illustrato come si svolge una ricerca bibliografica e come si prepara un rapporto scientifico.

Testo di riferimento per il corso:
L. Mesin, Mathematical Models and Methods applied to Physiology, CLUT, 2012.

Altri test interessanti:
J. P. Keener and J. Sneyd, Mathematical Physiology, Springer, 1998.
R. Barr and R.L. Plonsey; Bioelectricity: A Quantitative Approach. Plenum press, 1988.
J.D. Murray, Mathematical Biology I, An Introduction, Springer, 2002.
J.D. Murray, Mathematical Biology II, Spatial Models and Biomedical Applications, Springer, 2002

L'esame può essere sostenuto tramite un orale approfondito sui temi trattati a lezione oppure con un breve orale in seguito alla preparazione di una tesina di carattere applicativo. Tale tesina prevede la ricerca di un tema nella letteratura scientifica e lo sviluppo, l’implementazione e la discussione di un modello di un apparato fisiologico o di un metodo di elaborazione di un segnale fisiologico, mettendo in pratica le metodologie esposte nel corso.