Il corso e' finalizzato a fornire agli studenti le conoscenze fondamentali per la deduzione e l’analisi qualitativa dei modelli matematici di interesse per le scienze dell'ingegneria e per le scienze applicate. Si intende trattare il percorso completo: metodi di modellizzazione, classificazione, analisi qualitativa, validazione dei modelli.

Acquisire capacita' relative ai metodi di modellizzazione alla diverse scale (micro-macro) e alla trattazione di problemi di analisi qualitativa dei modelli della Fisica Matematica e delle Scienze Applicate.

Conoscenze dei corsi di base di analisi matematica I e II, fisica.

Sistemi di equazioni differenziali del primo ordine: sistemi del primo ordine in forma normale. Equazioni di ordine n in forma normale. Esempi: modelli della meccanica classica e della dinamica di popolazioni. Adimensionalizzazione. Definizione del problema di Cauchy. Risultati di esistenza e di esistenza ed unicità. Soluzioni massimali. Analisi qualitativa. Integrali primi. Regolarità delle soluzioni. Lemma di Gronwall. Dipendenza continua dai dati iniziali.
Sistemi autonomi: Ritratto di fase. Classificazione delle traiettorie. Esempi.
Definizione di stabilità e stabilità asintotica di un punto di equilibrio. Funzione di Liapunov e relativo teorema. Bacino di attrazione. Metodo di linearizzazione. Punti iperbolici.
Definizione di biforcazione dai punti di equilibrio. Biforcazione transcritica, supercritica, subcritica. Esempi. Il problema dei tre corpi ristretto. esempi
Biforcazione di Hopf. Teorema di Hopf. Ciclo limite. Teorema del centro di Liapunov. Cenni sul teorema di Poincarè-Bendixon e sui moti caotici. Esempi.
Elementi di calcolo delle variazioni: esempi e lemma fondamentale. Teorema sul minimo di un funzionale. Definizione di punti stazionari di un funzionale. Equazione di Eulero-Lagrange. Principio variazionale di Hamilton. Problema di Dirichlet. Esempi: geodetiche su una superficie, la brachistocrona, il principio di Fermat.

Equazioni a derivate parziali:
Leggi di bilancio.
Equazioni alle derivate parziali: alcuni esempi notevoli della fisica matematica.
Equazioni del primo ordine.
Equazioni del secondo ordine: iperboliche, ellittiche, paraboliche. Derivazione euristica e derivazione microscopica. Studio di alcuni aspetti qualitativi.

Le esercitazioni avranno lo scopo di verificare il livello di apprendimento dei concetti esposti nelle ora di lezione attraverso l’analisi e lo svolgimento di esercizi ed eventuali approfondimenti teorici.

Il materiale di supporto al corso verrà messo a disposizione degli studenti sul portale della didattica.
Ulteriori testi per approfondimenti verranno indicati durante lo svolgimento del corso stesso.

Esame scritto con quesiti sia di carattere teorico che sotto forma di esercizi. Lo scopo è quello di verificare sia il livello di comprensione degli argomenti esposti nel corso sia la capacità di organizzare tematicamente una esposizione sugli argomenti stessi.