L'insegnamento si propone di completare la formazione matematica di base, fornendo elementi della teoria delle funzioni di variabile complessa, della teoria delle distribuzioni, delle trasformate di Fourier e Laplace, ed infine della probabilità discreta e continua. Tali argomenti rivestono un ruolo centrale nelle applicazioni ingegneristiche; l'insegnamento sarà corredato da molti esempi che offriranno spunti per ulteriori approfondimenti.

a) Conoscenza e capacità di comprensione

Lo studente acquisisce una serie di concetti matematici di base e di strumenti per risolvere problemi di varia natura che spaziano dall'analisi dei segnali allo studio di fenomeni aleatori. La teoria delle distribuzioni fornisce un linguaggio generale e flessibile per trattare i segnali: tale teoria è l'ambito naturale per lo studio delle trasformate di Fourier e di Laplace. Lo studente apprende le tecniche di base per il calcolo delle trasformate e acquisisce un bagaglio di trasformate fondamentali (delta, treni di delta, funzioni discontinue). La teoria delle funzioni di variabile complessa offre il linguaggio adeguato per lo studio della trasformata di Laplace e gli strumenti avanzati per l'analisi dei fenomeni singolari e per il calcolo degli integrali. Inoltre, lo studente apprende gli strumenti probabilistici necessari per trattare problemi dominati dall'incertezza, tipici dell'analisi di fenomeni non deterministici, e per descrivere il comportamento delle grandezze aleatorie coinvolte in tali problematiche.

b) Capacità di applicare conoscenza e comprensione

Al termine dell'insegnamento lo studente potrà applicare le tecniche analitiche necessarie per l'analisi dei segnali di qualunque natura essi siano (impulsivi, discontinui, ecc.). Sarà inoltre in grado di valutare la probabilità del verificarsi di eventi e di effettuare previsioni su fenomeni casuali in ambito ingegneristico.
La capacità di applicare le conoscenze acquisite sarà verificata mediante discussioni ed esercitazioni in aula.

E' prerequisito necessario una buona dimestichezza con i concetti e gli strumenti matematici presentati nei corsi del I e del II anno; nello specifico, del calcolo differenziale e integrale in una o più variabili.

1. (27 ore) Funzioni di variabile complessa: derivabilità, condizioni di
Cauchy-Riemann, integrali su curve. Teorema di Cauchy, formula
integrale di Cauchy, sviluppabilità di funzioni analitiche in serie di
Taylor e di Laurent. Teorema dei residui, calcolo dei residui e calcolo di
integrali con il metodo dei residui.
2. (15 ore) Teoria delle distribuzioni: definizione ed operazioni fondamentali
(operazioni algebriche, traslazione, riscalamento, derivazione),
distribuzioni delta, v.p. 1/t, treno di impulsi. Prodotto di convoluzione per
funzioni e distribuzioni.
3. (18 ore) Trasformata di Fourier e Laplace per funzioni e distribuzioni
temperate: definizioni, proprietà, antitrasformate, formula di inversione.
Trasformate notevoli.
4. (10 ore) Elementi di calcolo combinatorio, misure di probabilità e relative
proprietà elementari. Probabilità condizionate.
5. (15 ore) Variabili casuali discrete e assolutamente continue, distribuzione di una
variabile aleatoria. Alcuni esempi notevoli
6. (15 ore) Valori attesi, distribuzioni congiunte, indipendenza e correlazione, valori
attesi condizionati.

Le esercitazioni seguiranno gli argomenti delle lezioni; in parte saranno svolte alla lavagna dal personale docente, in parte richiederanno la partecipazione degli allievi.

Saranno utilizzate dispense e esercizi disponibili in rete.
Per la parte di probabilità si consiglia
Ross, S. 'A first course in probability', Pearson Ed. Int., (8th ed., 2010).

Prova scritta costituita da due parti:
1. Test a risposta multipla. Per accedere alla seconda parte è necessario
rispondere in modo corretto ad almeno 5 dei 10 quiz.
Ogni risposta esatta è valutata 1 punto.
2. Svolgimento di esercizi, composti da più domande, per un totale di 22
punti.